Stopnje svobode v statistiki in matematiki
Monty Rakusen / Getty Images
V statistiki se prostostne stopnje uporabljajo za definiranje števila neodvisnih količin, ki jih je mogoče pripisati statistični porazdelitvi. To število se običajno nanaša na pozitivno celo število, ki kaže na pomanjkanje omejitev glede sposobnosti osebe, da izračuna manjkajoče faktorje iz statističnih problemov.
Stopnje svobode delujejo kot spremenljivke v končnem izračunu statistike in se uporabljajo za določanje izida različnih scenarijev v sistemu, v matematiki pa stopnje svobode definirajo število dimenzij v domeni, ki je potrebna za določitev celotnega vektor .
Za ponazoritev koncepta stopnje svobode si bomo ogledali osnovni izračun v zvezi s srednjo vrednostjo vzorca in da bi našli srednjo vrednost seznama podatkov, seštejemo vse podatke in delimo s skupnim številom vrednosti.
Ilustracija z vzorčno srednjo vrednostjo
Za trenutek predpostavimo, da poznamo pomeni podatkovnega niza je 25 in da so vrednosti v tem nizu 20, 10, 50 in eno neznano število. Formula za vzorčno povprečje nam daje enačbo (20 + 10 + 50 + x)/4 = 25 , kje x označuje neznano, z uporabo nekaterih osnovnih algebra , lahko nato ugotovimo, da manjkajoče število, x , je enako 20.
Nekoliko spremenimo ta scenarij. Spet predpostavimo, da vemo, da je povprečje nabora podatkov 25. Vendar so tokrat vrednosti v naboru podatkov 20, 10 in dve neznani vrednosti. Te neznanke so lahko različne, zato uporabljamo dve različne spremenljivke , x , in Y, za označevanje tega. Nastala enačba je (20 + 10 + x + y)/4 = 25 . Z nekaj algebre dobimo Y = 70- x . Formula je zapisana v tej obliki, da pokaže, da ko izberemo vrednost za x , vrednost za Y je popolnoma odločen. Imamo eno izbiro in to kaže, da obstaja stopnja svobode .
Zdaj si bomo ogledali velikost vzorca sto. Če vemo, da je povprečje teh vzorčnih podatkov 20, vendar ne poznamo vrednosti nobenega od podatkov, potem obstaja 99 prostostnih stopinj. Seštevek vseh vrednosti mora biti 20 x 100 = 2000. Ko imamo v nizu podatkov vrednosti 99 elementov, je zadnji določen.
Študentov t-rezultat in porazdelitev hi-kvadrat
Stopnje svobode igrajo pomembno vlogo pri uporabi študent t - tabela rezultatov . Dejansko jih je več t-rezultat distribucije. Te porazdelitve razlikujemo po stopnjah svobode.
Tukaj je porazdelitev verjetnosti ki jih uporabljamo, je odvisno od velikosti našega vzorca. Če je velikost našega vzorca n , potem je število prostostnih stopinj n -1. Na primer, velikost vzorca 22 bi zahtevala, da uporabimo vrstico t -točkovna tabela z 21 prostostnimi stopnjami.
Uporaba a porazdelitev hi-kvadrat zahteva tudi uporabo stopnje svobode. Tukaj na enak način kot pri t-rezultat porazdelitev, velikost vzorca določa, katero porazdelitev uporabiti. Če je velikost vzorca n , potem obstajajo n-1 stopnje svobode.
Standardni odklon in napredne tehnike
Drugo mesto, kjer se pokažejo prostostne stopnje, je formula za standardni odklon. Ta pojav ni tako očiten, vendar ga lahko opazimo, če vemo, kje iskati. Za poiščite standardni odklon iščemo 'povprečno' odstopanje od povprečja. Vendar pa po odštevanju povprečja od vsake podatkovne vrednosti in kvadriranju razlik na koncu delimo z n-1 raje kot n kot bi lahko pričakovali.
Prisotnost n-1 izhaja iz števila stopenj svobode. Odkar je n vrednosti podatkov in vzorčno povprečje, ki se uporabljajo v formuli, obstajajo n-1 stopnje svobode.
Naprednejše statistične tehnike uporabljajo bolj zapletene načine štetja stopenj svobode. Pri izračunu testne statistike za dve srednji vrednosti z neodvisnimi vzorci n 1in n dvaelementov ima število prostostnih stopinj precej zapleteno formulo. Lahko se oceni z uporabo manjšega od n1-1 in ndva-1
Drug primer drugačnega načina štetja stopenj svobode je priložen F test. Pri vodenju an F test imamo k vzorci vsake velikosti n —stopnje svobode v števcu je k -1 in v imenovalcu je k ( n -1).