Uvod v vektorsko matematiko

Tatjana Kolesnikova / Getty Images

To je osnovni, čeprav upajmo, da precej izčrpen uvod v delo z vektorji. Vektorji se manifestirajo na veliko različnih načinov od premika, hitrosti in pospeška do sil in polj. Ta članek je posvečen matematiki vektorjev; njihova uporaba v posebnih situacijah bo obravnavana drugje.

Vektorji in skalarji

A vektorska količina , oz vektor , zagotavlja informacije ne le o velikosti, ampak tudi o smeri količine. Ko podajate navodila do hiše, ni dovolj reči, da je oddaljena 10 milj, ampak je treba navesti tudi smer teh 10 milj, da so informacije uporabne. Spremenljivke, ki so vektorji, bodo označene s krepkim tiskom, čeprav je običajno videti vektorje, označene z majhnimi puščicami nad spremenljivko.

Tako kot ne rečemo, da je druga hiša -10 milj stran, je velikost vektorja vedno pozitivno število ali bolje rečeno absolutna vrednost 'dolžine' vektorja (čeprav količina morda ni dolžina, to je lahko hitrost, pospešek, sila itd.) Negativno pred vektorjem ne označuje spremembe v velikosti, temveč v smeri vektorja.

V zgornjih primerih je razdalja skalarna količina (10 milj), vendar premik je vektorska količina (10 milj proti severovzhodu). Podobno je hitrost skalarna količina, medtem ko je hitrost a vektor količino.

A enotski vektor je vektor z velikostjo ena. Vektor, ki predstavlja enotski vektor, je običajno tudi krepko, čeprav bo imel karat ( ^ ) nad njim, da označite naravo enote spremenljivke. Enotski vektor x , če je zapisan s karatom, se običajno bere kot 'x-hat', ker je karat na spremenljivki videti kot klobuk.

The ničelni vektor , oz ničelni vektor , je vektor z magnitudo nič. Napisano je kot 0 v tem članku.

Vektorske komponente

Vektorji so na splošno orientirani na koordinatni sistem, od katerih je najbolj priljubljena dvodimenzionalna kartezična ravnina. Kartezična ravnina ima vodoravno os, ki je označena z x, in navpično os, označeno z y. Nekatere napredne aplikacije vektorjev v fiziki zahtevajo uporabo tridimenzionalnega prostora, v katerem so osi x, y in z. Ta članek se bo večinoma ukvarjal z dvodimenzionalnim sistemom, čeprav se koncepti lahko z nekaj previdnosti razširijo na tri dimenzije brez večjih težav.

Vektorje v večdimenzionalnih koordinatnih sistemih lahko razdelimo na svoje komponentni vektorji . V dvodimenzionalnem primeru to povzroči a x-komponenta in a y-komponenta . Ko vektor razdelimo na komponente, je vektor vsota komponent:

F = F_x + F_Y

theta F_xF_YF

F_x / F = cos theta in F_Y / F = brez theta ki nam daje
F_x = F cos theta in F_Y = F brez theta

Upoštevajte, da so številke tukaj velikosti vektorjev. Poznamo smer komponent, vendar poskušamo najti njihovo velikost, zato odstranimo informacije o smeri in izvedemo te skalarne izračune, da ugotovimo velikost. Nadaljnjo uporabo trigonometrije je mogoče uporabiti za iskanje drugih razmerij (kot je tangenta), povezanih med nekaterimi od teh količin, vendar mislim, da je to za zdaj dovolj.

Dolga leta je edina matematika, ki se je učenec uči, skalarna matematika. Če potujete 5 milj severno in 5 milj vzhodno, ste prepotovali 10 milj. Dodajanje skalarnih količin ignorira vse informacije o navodilih.

Z vektorji se manipulira nekoliko drugače. Pri manipulaciji z njimi je treba vedno upoštevati smer.

Dodajanje komponent

Ko dodate dva vektorja, je tako, kot če bi vzeli vektorja in ju postavili enega do drugega ter ustvarili nov vektor, ki poteka od začetne do končne točke. Če imata vektorja isto smer, potem to samo pomeni seštevanje magnitud, če pa imata različne smeri, lahko postane bolj zapleteno.

Vektorje dodate tako, da jih razdelite na komponente in nato dodate komponente, kot je prikazano spodaj:

a + b = c
a_x + a_Y + b_x + b_Y =
( a_x + b_x ) + ( a_Y + b_Y ) = c_x + c_Y

Dve x-komponenti bosta povzročili x-komponento nove spremenljivke, medtem ko bosta dve y-komponenti povzročili y-komponento nove spremenljivke.

Lastnosti vektorskega seštevanja

Vrstni red dodajanja vektorjev ni pomemben. Pravzaprav več lastnosti iz skalarnega seštevanja velja za vektorsko seštevanje:

Lastnost identitete vektorskega dodatka
a + 0 = a
Inverzna lastnost vektorskega seštevanja
a + - a = a - a = 0
Odsevna lastnost dodajanja vektorjev
a = a
Komutativna lastnost vektorskega dodajanja
a + b = b + a
Asociativna lastnost vektorskega dodajanja
( a + b ) + c = a + ( b + c )
Tranzitivna lastnost vektorskega seštevanja
če a = b in c = b , potem a = c

Najenostavnejša operacija, ki jo lahko izvedemo na vektorju, je, da ga pomnožimo s skalarjem. To skalarno množenje spremeni velikost vektorja. Z drugimi besedami, naredi vektor daljši ali krajši.

Pri množenju z negativnim skalarjem bo dobljeni vektor kazal v nasprotno smer.

The skalarni produkt dveh vektorjev je način, kako ju pomnožiti, da dobimo skalarno količino. To je zapisano kot množenje dveh vektorjev, s piko na sredini, ki predstavlja množenje. Kot takega se pogosto imenuje pikasti izdelek dveh vektorjev.

Če želite izračunati pikčasti produkt dveh vektorjev, upoštevajte kot med njima. Z drugimi besedami, kakšna bi bila meritev kota, če bi imeli isto izhodišče ( theta ) med njimi. Pikčasti produkt je opredeljen kot:

a * b = ab cos theta

ab abba

V primerih, ko so vektorji pravokotni (oz theta = 90 stopinj), cos theta bo nič. zato pikčasti produkt pravokotnih vektorjev je vedno nič . Ko so vektorji vzporedno (oz theta = 0 stopinj), cos theta je 1, torej je skalarni produkt samo produkt velikosti.

S temi čednimi majhnimi dejstvi lahko dokažete, da lahko, če poznate komponente, popolnoma odpravite potrebo po theti z (dvodimenzionalno) enačbo:

a * b = a_xb_x + a_Yb_Y

The vektorski izdelek je zapisano v obrazcu a x b , in se običajno imenuje navzkrižni produkt dveh vektorjev. V tem primeru množimo vektorje in namesto skalarne količine bomo dobili vektorsko količino. To je najtežji vektorski izračun, s katerim se bomo ukvarjali, tako kot je ne komutativno in vključuje uporabo dreaded pravilo desne roke , do katerega pridem v kratkem.

Izračun magnitude

Spet upoštevamo dva vektorja, narisana iz iste točke, s kotom theta med njimi. Vedno vzamemo najmanjši kot, torej theta bo vedno v območju od 0 do 180 in rezultat zato nikoli ne bo negativen. Velikost nastalega vektorja se določi na naslednji način:

če c = a x b , potem c = ab brez theta

Vektorski produkt vzporednih (ali antiparalelnih) vektorjev je vedno nič

Smer vektorja

Vektorski produkt bo pravokoten na ravnino, ustvarjeno iz teh dveh vektorjev. Če si letalo predstavljate ravno na mizi, se pojavi vprašanje, ali gre nastali vektor navzgor (naš 'ven' iz mize, z našega vidika) ali navzdol (ali 'v' mizo, z našega vidika).

Strašno pravilo desne roke

Če želite to ugotoviti, morate uporabiti tako imenovano pravilo desne roke . Ko sem se v šoli učil fiziko, sem sovražen pravilo desne roke. Vsakič, ko sem ga uporabil, sem moral potegniti knjigo, da sem pogledal, kako deluje. Upam, da bo moj opis nekoliko bolj intuitiven od tistega, s katerim sem se seznanil.

Če imate a x b boste svojo desno roko položili vzdolž dolžine b tako da se lahko vaši prsti (razen palca) ukrivijo in kažejo vzdolž a . Z drugimi besedami, nekako poskušate narediti kot theta med dlanjo in štirimi prsti desne roke. Palec bo v tem primeru štrlel naravnost navzgor (ali izven zaslona, ​​​​če poskušate to storiti do računalnika). Vaši členki bodo približno poravnani z začetno točko obeh vektorjev. Natančnost ni bistvena, vendar želim, da dobite idejo, saj nimam slike tega, ki bi jo lahko posredoval.

Če pa razmišljate b x a , boste naredili nasprotno. Zraven boste položili desno roko a in pokažite s prsti b . Če poskušate to narediti na računalniškem zaslonu, se vam bo zdelo nemogoče, zato uporabite domišljijo. Ugotovili boste, da v tem primeru vaš domišljijski palec kaže v zaslon računalnika. To je smer nastalega vektorja.

Pravilo desne roke prikazuje naslednje razmerje:

a x b = - b x a

cabc

c_x = a_Yb_z - a_zb_Y
c_Y = a_zb_x - a_xb_z
c_z = a_xb_Y - a_Yb_x

ab c_xc_Y c

Končne besede

Na višjih ravneh lahko vektorji postanejo izjemno zapleteni za delo. Celotni predmeti na fakulteti, kot je linearna algebra, posvečajo veliko časa matricam (ki sem se jim v tem uvodu prijazno izognil), vektorjem in vektorski prostori . Ta raven podrobnosti presega obseg tega članka, vendar bi morala zagotoviti temelje, potrebne za večino vektorskih manipulacij, ki se izvajajo v učilnici fizike. Če nameravate fiziko študirati bolj poglobljeno, se boste med izobraževanjem seznanili z bolj zapletenimi koncepti vektorjev.