Kako uporabljati 'če in samo če' v matematiki

Courtney Taylor

Ko berete o statistiki in matematiki, se redno pojavlja besedna zveza, če in samo če. Ta stavek se še posebej pojavlja v izjavah matematičnih izrekov ali dokazov. Toda kaj točno ta izjava pomeni?

Kaj pomeni če in samo če v matematiki?

Da bi razumeli, če in samo če, moramo najprej vedeti, kaj pomeni pogojna izjava. Pogojni stavek je tisti, ki je sestavljen iz dveh drugih stavkov, ki ju bomo označili s P in Q. Za oblikovanje pogojnega stavka bi lahko rekli, če je P, potem Q.

Sledijo primeri tovrstnih izjav:

• Če zunaj dežuje, potem na sprehod vzamem s seboj dežnik.
• Če se boste pridno učili, boste zaslužili petico.
• če n je deljivo s 4, torej n je deljivo z 2.

Converse in Conditionals

Trije drugi stavki so povezani s katerim koli pogojnim stavkom. Ti se imenujejo obrat, inverz in kontrapozitiv . Te izjave oblikujemo tako, da spremenimo vrstni red P in Q iz prvotnega pogojnika in vstavimo besedo not za inverz in kontrapozitiv.

Tukaj moramo upoštevati le obratno. To izjavo dobimo iz izvirnika tako, da rečemo if Q then P. Recimo, da začnemo s pogojnikom če zunaj dežuje, potem vzamem dežnik s seboj na sprehod. Obratno od te trditve je, če vzamem s seboj dežnik na sprehod, potem zunaj dežuje.

Upoštevati moramo le ta primer, da ugotovimo, da prvotni pogojnik ni logično enak svojemu nasprotju. Zmeda teh dveh izjav je znana kot a obratna napaka . Na sprehod bi lahko vzeli dežnik, čeprav morda zunaj ne dežuje.

Za drug primer razmislimo o pogojniku. Če je število deljivo s 4, potem je deljivo z 2. Ta izjava očitno drži. Vendar je nasprotje te izjave, če je število deljivo z 2, potem je deljivo s 4, napačno. Pogledati moramo samo število, kot je 6. Čeprav 2 deli to število, 4 ne. Čeprav je prvotna izjava resnična, njena obratna izjava ni.

Dvopogojnik

To nas pripelje do dvopogojne izjave, ki je znana tudi kot izjava 'če in samo če'. Nekateri pogojni stavki imajo tudi nasprotja, ki so resnična. V tem primeru lahko oblikujemo tako imenovano dvopogojno izjavo. Dvopogojna izjava ima obliko:

Če je P, potem Q, in če je Q, potem P.

Od tega Gradnja je nekoliko nerodno, še posebej, če sta P in Q lastni logični izjavi, izjavo dvopogojnika poenostavimo z uporabo fraze 'če in samo če.' Namesto da bi rekli 'če je P, potem je Q in če je Q, potem je P', raje rečemo 'P če in samo če je Q.' Ta konstrukcija odpravlja nekaj odvečnosti.

Primer statistike

Za primer fraze če in samo če to vključuje statistiko, ne iščite dlje kot dejstvo v zvezi s standardno deviacijo vzorca. Vzorčni standardni odklon nabora podatkov je enak nič če in samo če so vse vrednosti podatkov enake.

To dvopogojno izjavo razdelimo na pogojnik in njegovo nasprotje. Nato vidimo, da ta izjava pomeni oboje od naslednjega:

• Če je standardni odklon enak nič, so vse vrednosti podatkov enake.
• Če so vse vrednosti podatkov enake, je standardna deviacija enaka nič.

Dokaz dvopogojnosti

Če poskušamo dokazati bipogojnik, ga večinoma na koncu razdelimo. Zaradi tega ima naš dokaz dva dela. En del dokaza je, če je P, potem Q. Drugi del dokaza, ki ga potrebujemo, je, če je Q, potem P.

Nujni in zadostni pogoji

Dvopogojni stavki so povezani s pogoji, ki so potrebni in zadostni. Razmislite o izjavi, če je danes Velika noč , potem je jutri ponedeljek. Dovolj je, da je danes velika noč, da je jutri ponedeljek, ni pa nujno. Danes bi lahko bila katera koli nedelja razen velike noči, jutri pa bi bil še vedno ponedeljek.

Okrajšava

Besedna zveza če in samo če se v matematičnem pisanju uporablja dovolj pogosto, da ima svojo okrajšavo. Včasih se dvopogojnik v izjavi besedne zveze if and only if skrajša na preprosto če. Tako izjava P če in samo če Q postane P, če Q.