Kaj so obratno, kontrapozitivno in inverzno?

Corbis/VCG prek Getty Images / Getty Images

Pogojni stavki se pojavljajo povsod. V matematiki ali drugje ne traja dolgo, da naletimo na nekaj v obliki Če p potem Q . Pogojni stavki so res pomembni. Pomembni so tudi stavki, ki so povezani s prvotnim pogojnim stavkom s spremembo položaja p , Q in zanikanje izjave. Začenši z izvirno izjavo, končamo s tremi novimi pogojnimi izjavami, ki se imenujejo obratna, kontrapozitivna in obratno .

Negacija

Preden definiramo obratno, kontrapozitivno in inverzno pogojno izjavo, moramo preučiti temo zanikanja. Vsaka izjava v logika je resnična ali napačna. Zanikanje izjave preprosto vključuje vstavljanje besede not v pravi del izjave. Dodatek besede not je narejen tako, da spremeni status resničnosti izjave.

Pomagal bo ogled primera. Izjava The pravokotni trikotnik je enakostranični ima negacijo Pravokotni trikotnik ni enakostranični. Negacija 10 je sodo število je izjava 10 ni sodo število. Seveda bi lahko za ta zadnji primer uporabili definicijo lihe številke in namesto tega rekli, da je 10 liho število. Opažamo, da je resničnost izjave nasprotna resničnosti zanikanja.

To idejo bomo preučili v bolj abstraktnem okolju. Ko izjava p drži, trditev ne p je napačen. Podobno, če p je napačna, njena negacija pa ne p je res. Negacije so običajno označene s tildo ~. Torej namesto pisanja ne p lahko pišemo ~ p .

Konverzni, kontrapozitivni in inverzni

Zdaj lahko definiramo nasprotje, kontrapozitiv in obrat pogojne izjave. Začnemo s pogojnim stavkom If p potem Q .

• Nasprotje pogojnega stavka je Če Q potem p .
• Kontrapozitiv pogojnega stavka je If not Q potem ne p .
• Inverz pogojnega stavka je If not p potem ne Q .

Na primeru bomo videli, kako te izjave delujejo. Recimo, da začnemo s pogojno izjavo Če je sinoči deževalo, potem je pločnik moker.

• Nasprotje pogojne izjave je Če je pločnik moker, potem je sinoči deževalo.
• Kontrapozitiv pogojne izjave je Če pločnik ni moker, potem sinoči ni deževalo.
• Obratna pogojna izjava je Če sinoči ni deževalo, potem pločnik ni moker.

Logična enakovrednost

Morda se sprašujemo, zakaj je pomembno oblikovati te druge pogojne izjave iz naše začetne. Pozoren pogled na zgornji primer razkrije nekaj. Predpostavimo, da izvirna izjava Če je sinoči deževalo, potem je pločnik moker drži. Katera od ostalih trditev mora prav tako biti resnična?

• Obratno Če je pločnik moker, potem je sinoči deževalo, ni nujno res. Pločnik je lahko moker iz drugih razlogov.
• Obratno Če včeraj zvečer ni deževalo, potem pločnik ni moker, ni nujno res. Tudi to, da ni deževalo, še ne pomeni, da pločnik ni moker.
• Kontrapozitiv Če pločnik ni moker, potem sinoči ni deževalo, je resnična trditev.

Kar vidimo iz tega primera (in kar je mogoče matematično dokazati), je, da ima pogojna izjava enako resničnostno vrednost kot njen kontrapozitiv. Pravimo, da sta ti izjavi logično enakovredni. Vidimo tudi, da pogojni stavek ni logično enakovreden svojemu nasprotju in inverzu.

Ker sta pogojna izjava in njen kontrapozitiv logično enakovredna, lahko to uporabimo sebi v prid, ko dokazujemo matematične izreke. Namesto da neposredno dokažemo resničnost pogojne izjave, lahko namesto tega uporabimo posredno dokazno strategijo dokazovanja resničnosti kontrapozitiva te izjave. Kontrapozitivni dokazi delujejo, ker če je kontrapozitiv resničen, je zaradi logične enakovrednosti resnična tudi prvotna pogojna izjava.

Izkazalo se je, da čeprav je obratno in inverzno nista logično enakovredna prvotnemu pogojnemu stavku , so logično enakovredni drug drugemu. Za to obstaja enostavna razlaga. Začnemo s pogojnim stavkom If Q potem p . Kontrapozitiv te izjave je Če ne p potem ne Q . Ker je inverz kontrapozitiv obratnega, sta obrat in inverz logično enakovredna.