Kdaj je standardna deviacija enaka nič?
Maureen P Sullivan / Getty Images
The standardni odklon vzorca je deskriptivna statistika, ki meri širjenje niza kvantitativnih podatkov. To število je lahko katero koli nenegativno realno število. Ker je ničla nenegativna realno število , se zdi smiselno vprašati, kdaj bo standardna deviacija vzorca enaka nič? To se zgodi v zelo posebnem in zelo nenavadnem primeru, ko so vse vrednosti naših podatkov popolnoma enake. Raziskali bomo razloge, zakaj.
Opis standardne deviacije
Dve pomembni vprašanji, na kateri običajno želimo odgovoriti o nizu podatkov, vključujeta:
- Kaj je središče nabora podatkov?
- Kako razširjen je nabor podatkov?
Obstajajo različne meritve, imenovane deskriptivna statistika, ki odgovarjajo na ta vprašanja. Na primer, središče podatkov, znano tudi kot povprečje , je mogoče opisati v smislu povprečja, mediane ali načina. Uporabijo se lahko drugi statistični podatki, ki so manj znani, npr lov ali trimean.
Za širjenje naših podatkov bi lahko uporabili obseg, interkvartilni razpon ali standardni odklon. Standardni odklon je seznanjen s povprečjem za količinsko opredelitev širjenja naših podatkov. To številko lahko nato uporabimo za primerjavo več nizov podatkov. Večji kot je naš standardni odklon, večji je razpon.
Intuicija
Zato razmislimo iz tega opisa, kaj bi pomenilo imeti standardno odstopanje nič. To bi pomenilo, da v našem naboru podatkov sploh ni širjenja. Vse posamezne vrednosti podatkov bi bile združene v eno vrednost. Ker bi naši podatki lahko imeli samo eno vrednost, bi ta vrednost predstavljala povprečje našega vzorca.
V tej situaciji, ko so vse vrednosti naših podatkov enake, ne bi bilo nobene razlike. Intuitivno je logično, da bi bil standardni odklon takega niza podatkov nič.
Matematični dokaz
Standardni odklon vzorca je opredeljen s formulo. Zato je treba vsako trditev, kot je zgornja, dokazati s to formulo. Začnemo z nizom podatkov, ki ustreza zgornjemu opisu: vse vrednosti so enake in obstajajo n vrednosti enake x .
Izračunamo povprečje tega niza podatkov in vidimo, da je
x = ( x + x + . . . + x )/ n = nx / n = x .
Zdaj, ko izračunamo posamezna odstopanja od povprečja, vidimo, da so vsa ta odstopanja enaka nič. Posledično sta tudi varianca in standardna deviacija enaka nič.
Potrebno in zadostno
Vidimo, da če niz podatkov ne prikazuje nobene variacije, potem je njegov standardni odklon enak nič. Lahko se vprašamo, ali pogovarjati se tudi ta izjava drži. Da bi ugotovili, ali je, bomo znova uporabili formulo za standardni odklon. Tokrat pa bomo standardni odklon postavili na nič. O našem naboru podatkov ne bomo delali nobenih predpostavk, videli pa bomo, kakšno nastavitev s = 0 pomeni
Recimo, da je standardni odklon nabora podatkov enak nič. To bi pomenilo, da je vzorčna varianca s dvaje tudi enako nič. Rezultat je enačba:
0 = (1/( n - 1)) ∑ ( x jaz- x )dva
Obe strani enačbe pomnožimo z n - 1 in vidimo, da je vsota kvadratov odklonov enaka nič. Ker delamo z realnimi števili, je edini način, da se to zgodi, da je vsak kvadrat odstopanja enak nič. To pomeni, da za vsako jaz , izraz ( x jaz- x )dva= 0.
Zdaj vzamemo kvadratni koren zgornje enačbe in vidimo, da mora biti vsako odstopanje od povprečja enako nič. Ker za vse jaz ,
x jaz- x = 0
To pomeni, da je vsaka vrednost podatkov enaka povprečju. Ta rezultat nam skupaj z zgornjim omogoča, da rečemo, da je vzorčni standardni odklon nabora podatkov nič, če in samo če so vse njegove vrednosti enake.