Kaj je negativna binomska porazdelitev?

Tatjana Kolesnikova/Getty Images

Negativna binomska porazdelitev je a porazdelitev verjetnosti ki se uporablja z diskretnimi naključnimi spremenljivkami. Ta vrsta porazdelitve zadeva število poskusov, ki se morajo zgoditi, da se doseže vnaprej določeno število uspehov. Kot bomo videli, je negativna binomska porazdelitev povezana z binomska porazdelitev . Poleg tega ta porazdelitev posplošuje geometrijsko porazdelitev.

Nastavitev

Začeli bomo s pogledom na nastavitev in pogoje, ki povzročajo negativno binomsko porazdelitev. Mnogi od teh pogojev so zelo podobni binomski nastavitvi.

1. Imamo Bernoullijev poskus. To pomeni, da ima vsak poskus, ki ga izvedemo, natančno opredeljen uspeh in neuspeh in da sta to edina rezultata.
2. Verjetnost uspeha je konstantna ne glede na to, kolikokrat izvedemo poskus. To konstantno verjetnost označimo z a str.
3. Poskus se ponovi za X neodvisna preskušanja, kar pomeni, da izid enega sojenja ne vpliva na izid naslednjega sojenja.

Ti trije pogoji so identični tistim v binomski porazdelitvi. Razlika je v tem, da ima binomska naključna spremenljivka fiksno število poskusov n. Edine vrednote X so 0, 1, 2, ..., n, torej je to končna porazdelitev.

Negativna binomska porazdelitev se nanaša na število poskusov X ki se mora zgoditi, dokler nimamo r uspehi. Število r je celo število, ki ga izberemo, preden začnemo izvajati poskuse. Naključna spremenljivka X je še vedno diskretna. Vendar lahko zdaj naključna spremenljivka zavzame vrednosti X = r, r+1, r+2, ... Ta naključna spremenljivka je štetno neskončna, saj lahko traja poljubno dolgo, preden dobimo r uspehi.

Primer

Da bi lažje razumeli negativno binomsko porazdelitev, je vredno razmisliti o primeru. Recimo, da vržemo pošten kovanec in se vprašamo: »Kolikšna je verjetnost, da dobimo tri glave v prvi X meti kovancev?' To je situacija, ki zahteva negativno binomsko porazdelitev.

Meti kovancev imajo dva možna izida, verjetnost uspeha je konstantna 1/2, poskusi pa so neodvisni drug od drugega. Vprašamo se za verjetnost, da dobimo prve tri glave po tem X meti kovancev. Tako moramo kovanec vreči vsaj trikrat. Nato nadaljujemo z obračanjem, dokler se ne pojavi tretja glava.

Za izračun verjetnosti, povezanih z negativno binomsko porazdelitvijo, potrebujemo še nekaj informacij. Poznati moramo funkcijo verjetnostne mase.

Funkcija verjetnostne mase

Funkcijo verjetnostne mase za negativno binomsko porazdelitev je mogoče razviti z malo premisleka. Vsak poskus ima verjetnost uspeha, podano z str. Ker sta možna samo dva izida, to pomeni, da je verjetnost neuspeha konstantna (1 - str ).

The r mora priti do uspeha x in končno sojenje. Prejšnji x - 1 poskus mora vsebovati točno r - 1 uspehi. Število načinov, kako se to lahko zgodi, je podano s številom kombinacij:

C( x - 1, r -1) = (x - 1)!/[(r - 1)!( x - r )!].

Poleg tega imamo neodvisne dogodke in tako lahko skupaj pomnožimo naše verjetnosti. Če vse to združimo, dobimo funkcijo verjetnostne mase

f ( x ) =C( x - 1, r -1) str ^r (1 - str ) ^{x - r}.

Ime distribucije

Zdaj lahko razumemo, zakaj ima ta naključna spremenljivka negativno binomsko porazdelitev. Število kombinacij, ki smo jih srečali zgoraj, lahko z nastavitvijo zapišemo drugače x - r = k:

(x - 1)!/[(r - 1)!( x - r )!] = ( x + k - 1)!/[(r - 1)! k !] = ( r + k - 1)( x + k - 2) . . . (r + 1)(r)/ k ! = (-1) ^k (-r)(-r - 1). . .(-r -(k + 1)/k!.

Tukaj vidimo pojav negativnega binomskega koeficienta, ki se uporablja, ko binomski izraz (a + b) dvignemo na negativno potenco.

Pomeni

Srednjo porazdelitve je pomembno poznati, ker je to eden od načinov za označevanje središča porazdelitve. Srednja vrednost te vrste naključne spremenljivke je podana z njeno pričakovano vrednostjo in je enaka r / str . To lahko natančno dokažemo z uporabo funkcija generiranja momenta za to distribucijo.

Intuicija nas vodi tudi do tega izraza. Recimo, da izvedemo niz poskusov n ₁dokler ne dobimo r uspehi. In potem to ponovimo, le da tokrat traja n _dvaposkusi. To nadaljujemo znova in znova, dokler ne dobimo velikega števila skupin poskusov n = n ₁+ n _dva+ . . . + n _k.

Vsak od teh k poskusi vsebujejo r uspehov, tako da imamo skupno DKK uspehi. če n je velik, potem bi pričakovali, da bomo videli približno Npr uspehi. Tako jih enačimo skupaj in imamo kr = Np.

Naredimo nekaj algebre in to ugotovimo N / k = r / str. Ulomek na levi strani te enačbe je povprečno število poskusov, potrebnih za vsakega od naših k skupine poskusov. Z drugimi besedami, to je pričakovano število izvedbe poskusa, tako da imamo skupno r uspehi. To je točno tisto pričakovanje, ki ga želimo najti. Vidimo, da je to enako formuli r / str.

Varianca

Varianco negativne binomske porazdelitve je mogoče izračunati tudi z uporabo funkcije generiranja momenta. Ko to naredimo, vidimo, da je varianca te porazdelitve podana z naslednjo formulo:

r(1 - str )/ str ^dva

Funkcija generiranja trenutkov

Funkcija generiranja trenutka za to vrsto naključne spremenljivke je precej zapletena. Spomnimo se, da je funkcija generiranja momenta definirana kot pričakovana vrednost E[e^tX]. Z uporabo te definicije z našo verjetnostno masno funkcijo imamo:

M(t) = E[e^tX] = Σ (x - 1)!/[(r - 1)!( x - r )!]in^tX str ^r (1 - str ) ^{x - r}

Po nekaj algebri to postane M(t) = (pe^t)^r[1-(1- p)e^t]^-r

Razmerje do drugih distribucij

Zgoraj smo videli, kako je negativna binomska porazdelitev v mnogih pogledih podobna binomski porazdelitvi. Poleg te povezave je negativna binomska porazdelitev bolj splošna različica geometrijske porazdelitve.

Geometrijska naključna spremenljivka X prešteje število potrebnih poskusov, preden pride do prvega uspeha. Zlahka je videti, da je to ravno negativna binomska porazdelitev, vendar s r enako ena.

Obstajajo tudi druge formulacije negativne binomske porazdelitve. Nekateri učbeniki opredeljujejo X biti število poskusov do r pride do napak.

Primer težave

Ogledali si bomo primer problema, da vidimo, kako delati z negativno binomsko porazdelitvijo. Recimo, da košarkar izvaja 80 % prostih metov. Nadalje predpostavimo, da je izvajanje enega prostega meta neodvisno od izvajanja naslednjega. Kolikšna je verjetnost, da bo ta igralec dosegel osmi koš pri desetem prostem metu?

Vidimo, da imamo nastavitev za negativno binomsko porazdelitev. Stalna verjetnost uspeha je 0,8, zato je verjetnost neuspeha 0,2. Določiti želimo verjetnost X=10, ko je r = 8.

Te vrednosti vključimo v našo verjetnostno masno funkcijo:

f(10) =C(10 -1, 8 - 1) (0,8)⁸(0,2)^dva= 36(0,8)⁸(0,2)^dva, kar je približno 24 %.

Nato bi se lahko vprašali, koliko je povprečno število prostih metov, preden jih ta igralec izvede osem. Ker je pričakovana vrednost 8/0,8 = 10, je to število strelov.