Funkcija generiranja momenta naključne spremenljivke

Funkcija generiranja trenutka naključne spremenljivke je definirana v smislu pričakovane vrednosti. C.K.Taylor

Eden od načinov za izračun srednje vrednosti in variance a porazdelitev verjetnosti je najti pričakovane vrednosti naključnih spremenljivk X in X ^dva. Uporabljamo notacijo IN ( X ) in IN ( X ^dva) za označevanje teh pričakovanih vrednosti. Na splošno je težko izračunati IN ( X ) in IN ( X ^dva) neposredno. Da bi se izognili tej težavi, uporabljamo naprednejšo matematično teorijo in račun. Končni rezultat je nekaj, kar nam olajša izračune.

Strategija za ta problem je definiranje nove funkcije, nove spremenljivke t ki se imenuje funkcija generiranja momenta. Ta funkcija nam omogoča izračunavanje trenutkov s preprostim odvajanjem.

Predpostavke

Preden definiramo funkcijo generiranja momenta, začnemo s postavitvijo odra z notacijo in definicijami. Pustimo X biti a diskretna naključna spremenljivka . Ta naključna spremenljivka ima funkcijo verjetnostne mase f ( x ). Vzorčni prostor, s katerim delamo, bo označen z S .

Namesto da bi izračunal pričakovano vrednost X , želimo izračunati pričakovano vrednost eksponentne funkcije, povezane z X . Če obstaja pozitiven realno število r tako da IN ( in^tX ) obstaja in je končna za vse t v intervalu [- r , r ], potem lahko definiramo funkcijo generiranja momenta X .

Opredelitev

Funkcija generiranja momenta je pričakovana vrednost zgornje eksponentne funkcije. Z drugimi besedami, rečemo, da je funkcija generiranja trenutka X podaja:

M ( t ) = IN ( in^tX )

Ta pričakovana vrednost je formula Σ in ^tx f ( x ), kjer se seštevek prevzame čez vse x v vzorčni prostor S . To je lahko končna ali neskončna vsota, odvisno od uporabljenega vzorčnega prostora.

Lastnosti

Funkcija generiranja trenutkov ima številne funkcije, ki se povezujejo z drugimi temami v verjetnostni in matematični statistiki. Nekatere njegove najpomembnejše lastnosti vključujejo:

• Koeficient od in^tb je verjetnost, da X = b .
• Funkcije, ki generirajo trenutek, imajo lastnost edinstvenosti. Če se funkciji generiranja momenta za dve naključni spremenljivki ujemata, potem morata biti funkciji verjetnostne mase enaki. Z drugimi besedami, naključne spremenljivke opisujejo enako porazdelitev verjetnosti.
• Funkcije za generiranje trenutkov se lahko uporabljajo za izračun trenutkov X .

Računanje trenutkov

Zadnja točka na zgornjem seznamu pojasnjuje ime funkcij za ustvarjanje momenta in tudi njihovo uporabnost. Nekateri napredni matematiki pravijo, da pod pogoji, ki smo jih postavili, odvod katerega koli vrstnega reda funkcije M ( t ) obstaja za kdaj t = 0. Poleg tega lahko v tem primeru spremenimo vrstni red seštevanja in diferenciacije glede na t da dobimo naslednje formule (vsi seštevki so nad vrednostmi x v vzorčnem prostoru S ):

• M '( t ) = S avto^tx f ( x )
• M ''( t ) = S x^dvain^tx f ( x )
• M ''( t ) = S x³in^tx f ( x )
• M ⁽ⁿ⁾'( t ) = S xⁿin^tx f ( x )

Če nastavimo t = 0 v zgornjih formulah, potem je in^tx izraz postane in ⁰= 1. Tako dobimo formule za momente naključne spremenljivke X :

• M '(0) = IN ( X )
• M ''(0) = IN ( X ^dva)
• M ''(0) = IN ( X ³)
• M ^{( n )}(0) = IN ( Xⁿ )

To pomeni, da če funkcija generiranja momenta obstaja za določeno naključno spremenljivko, potem lahko najdemo njeno srednjo vrednost in njeno varianco v smislu odvodov funkcije generiranja momenta. Srednja vrednost je M «(0), varianca pa je M ''(0) – [ M '(0)]^dva.

Povzetek

Če povzamemo, morali smo se poglobiti v precej zahtevno matematiko, tako da so bile nekatere stvari zamolčane. Čeprav moramo za zgoraj navedeno uporabiti račun, je na koncu naše matematično delo običajno lažje kot računanje momentov neposredno iz definicije.