Verjetnost polne hiše v Yahtzeeju v enem krogu

Osebje državnih parkov Virginije [CC BY 2.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)], prek Wikimedia Commons

Igra Yahtzee vključuje uporabo petih standardnih kock. Na vsakem koraku dobijo igralci tri mete. Po vsakem metu lahko obdržite poljubno število kock, s ciljem pridobiti določene kombinacije teh kock. Vsaka drugačna kombinacija je vredna različno število točk.

Ena od teh vrst kombinacij se imenuje polna hiša. Tako kot full house v igri pokra tudi ta kombinacija vključuje tri določene številke skupaj s parom druge številke. Ker Yahtzee vključuje naključno metanje kock, lahko to igro analiziramo z uporabo verjetnosti, da ugotovimo, kako verjetno je, da vržemo polno hišo v enem metu.

Predpostavke

Začeli bomo z navedbo naših predpostavk. Predvidevamo, da so uporabljene kocke poštene in neodvisne druga od druge. To pomeni, da imamo enoten vzorčni prostor, sestavljen iz vseh možnih metov petih kock. Čeprav igra Yahtzee omogoča tri mete, bomo upoštevali le primer, ko dobimo full house v enem metu.

Vzorčni prostor

Ker sodelujemo z a uniforma vzorčni prostor , izračun naše verjetnosti postane izračun nekaj težav s štetjem. Verjetnost polne hiše je število načinov za zavrtenje polne hiše, deljeno s številom izidov v vzorčnem prostoru.

Število rezultatov v vzorčnem prostoru je preprosto. Ker je kock pet in ima lahko vsaka od teh kock enega od šestih različnih izidov, je število izidov v vzorčnem prostoru 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6.⁵= 7776.

Število polnih hiš

Nato izračunamo število načinov za valjanje polne hiše. To je težji problem. Da bi imeli polno hišo, potrebujemo tri kocke ene vrste, ki jim sledi par kock druge vrste. To težavo bomo razdelili na dva dela:

• Kakšno je število različnih vrst polnih hiš, ki bi jih lahko zavrgli?
• Na koliko načinov bi lahko zavrtili določeno vrsto full house?

Ko poznamo število za vsako od teh, jih lahko pomnožimo skupaj, da dobimo skupno število polnih hiš, ki jih je mogoče zavrtiti.

Začnemo z ogledom števila različnih vrst polnih hiš, ki jih je mogoče vrniti. Za trojko je mogoče uporabiti katero koli od številk 1, 2, 3, 4, 5 ali 6. Za par je preostalih pet številk. Tako je na voljo 6 x 5 = 30 različnih vrst kombinacij polne hiše, ki jih lahko vržete.

Na primer, lahko bi imeli 5, 5, 5, 2, 2 kot eno vrsto polne hiše. Druga vrsta full house bi bila 4, 4, 4, 1, 1. Še ena bi bila 1, 1, 4, 4, 4, ki se razlikuje od prejšnje full house, ker sta bili vlogi štiric in enic zamenjani. .

Zdaj določimo različno število načinov za zavijanje določene full house. Na primer, vsako od naslednjega nam daje enako polno hišo treh štiric in dveh enic:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

Vidimo, da obstaja vsaj pet načinov za zavrtenje določene polne hiše. So še drugi? Tudi če kar naprej naštevamo druge možnosti, kako vemo, da smo jih našli vse?

Ključ do odgovora na ta vprašanja je, da ugotovimo, da imamo opravka s problemom štetja, in ugotovimo, s kakšno vrsto problema s štetjem delamo. Obstaja pet mest in tri od teh je treba zapolniti s štirico. Vrstni red, v katerem postavimo naše štirice, ni pomemben, dokler so natančna mesta zapolnjena. Ko je položaj četvork določen, je postavitev enic avtomatska. Zaradi teh razlogov moramo upoštevati kombinacija pet položajev, zavzetih po tri naenkrat.

Za pridobitev uporabljamo kombinirano formulo C (5, 3 ) = 5!/(3!2!) = (5 x 4) / 2 = 10. To pomeni, da obstaja 10 različnih načinov, kako zavrtiti dano full house.

Če vse to seštejemo, imamo število polnih hiš. Obstaja 10 x 30 = 300 načinov za pridobitev polne hiše v enem zvitku.

Verjetnost

Zdaj pa verjetnost polne hiše je preprost izračun deljenja. Ker obstaja 300 načinov za metanje polne hiše v enem metu in je možnih 7776 metov petih kock, je verjetnost vrženja polne hiše 300/7776, kar je blizu 1/26 in 3,85 %. To je 50-krat večja verjetnost kot zvijanje Yahtzeeja v enem zvitku.

Seveda je zelo verjetno, da prvi roll ni full house. Če je temu tako, potem imamo dovoljena še dva metanja, zaradi česar je full house veliko bolj verjeten. Verjetnost tega je veliko bolj zapleteno določiti zaradi vseh možnih situacij, ki bi jih bilo treba upoštevati.