Normalni približek binomski porazdelitvi
Matt Cardy / Getty Images
Naključne spremenljivke z binomsko porazdelitvijo znano, da so diskretni. To pomeni, da obstaja šteto število izidov, ki se lahko pojavijo v binomski porazdelitvi, pri čemer so ti izidi ločeni. Na primer, binomska spremenljivka ima lahko vrednost tri ali štiri, ne pa števila med tri in štiri.
Z diskretnim značajem binomske porazdelitve je nekoliko presenetljivo, da se lahko zvezna naključna spremenljivka uporabi za približek binomske porazdelitve. Za mnoge binomske porazdelitve , lahko uporabimo normalno porazdelitev za približek naših binomskih verjetnosti.
To se vidi ob pogledu n metanje in dajanje kovancev X biti število glav. V tej situaciji imamo binomsko porazdelitev z verjetnostjo uspeha kot str = 0,5. Ko povečamo število metov, vidimo, da je verjetnost histogram je vse bolj podobna normalni porazdelitvi.
Izjava o normalnem približku
Vsaka normalna porazdelitev je popolnoma definirana z dvema realna števila . Te številke so povprečje, ki meri središče porazdelitve, in standardni odklon , ki meri širjenje distribucije. Za dano binomsko situacijo moramo biti sposobni določiti, katero normalno porazdelitev uporabiti.
Izbira pravilne normalne porazdelitve je odvisna od števila poskusov n v binomski nastavitvi in stalna verjetnost uspeha str za vsako od teh preizkušenj. Normalni približek za našo binomsko spremenljivko je povprečje npr. in standardni odklon ( npr. (1 - str )0,5.
Na primer, predpostavimo, da smo ugibali pri vsakem od 100 vprašanj testa z izbirnimi odgovori, kjer je imelo vsako vprašanje en pravilen odgovor od štirih izbir. Število pravilnih odgovorov X je binomska naključna spremenljivka z n = 100 in str = 0,25. Tako ima ta naključna spremenljivka povprečje 100(0,25) = 25 in standardni odklon (100(0,25)(0,75))0,5= 4,33. Normalna porazdelitev s srednjo vrednostjo 25 in standardnim odklonom 4,33 bo delovala za približek te binomske porazdelitve.
Kdaj je približek primeren?
Z uporabo nekaj matematike lahko pokažemo, da obstaja nekaj pogojev, ki jih potrebujemo za uporabo običajnega približka binomska porazdelitev . Število opazovanj n mora biti dovolj velika in vrednost str tako da oboje npr. in n (1 - str ) so večje ali enake 10. To je pravilo, ki ga vodi statistična praksa. Običajni približek je mogoče vedno uporabiti, vendar če ti pogoji niso izpolnjeni, potem približek morda ne bo tako dober približek.
Na primer, če n = 100 in str = 0,25, potem je upravičena uporaba normalnega približka. To je zato, ker npr. = 25 in n (1 - str ) = 75. Ker sta obe števili večji od 10, bo ustrezna normalna porazdelitev dokaj dobro ocenila binomske verjetnosti.
Zakaj uporabljati približek?
Binomske verjetnosti se izračunajo z uporabo zelo preproste formule za iskanje binomskega koeficienta. Na žalost zaradi faktoriali v formuli je lahko zelo enostavno naleteti na računske težave z binom formula. Normalni približek nam omogoča, da zaobidemo katero koli od teh težav tako, da delamo z znanim prijateljem, tabelo vrednosti standardne normalne porazdelitve.
Velikokrat je določanje verjetnosti, da binomska naključna spremenljivka sodi v razpon vrednosti, dolgočasno izračunati. To je zato, ker najti verjetnost, da binomska spremenljivka X večje od 3 in manjše od 10, bi morali najti verjetnost, da X je enako 4, 5, 6, 7, 8 in 9, nato pa seštejte vse te verjetnosti. Če je mogoče uporabiti običajni približek, bomo namesto tega morali določiti z-rezultate, ki ustrezajo 3 in 10, nato pa uporabiti z-rezultatno tabelo verjetnosti za standardna normalna porazdelitev .