Kaj je standardna normalna porazdelitev?

Zvončaste krivulje z različnimi sredinami in standardnimi odkloni imajo enako splošno obliko, vendar se razlikujejo po središčih in širinah. (C.K.Taylor)

Zvončaste krivulje prikazani v celotni statistiki. Različne meritve, kot so premeri semen, dolžine ribjih plavuti, rezultati na SAT in teže posameznih listov svežnja papirja, vse tvorijo zvončaste krivulje, ko so prikazane v grafu. Splošna oblika vseh teh krivulj je enaka. Toda vse te krivulje so različne, ker je zelo malo verjetno, da ima katera od njih enako srednjo vrednost ali standardni odklon. Zvončaste krivulje z velikimi standardnimi odstopanji so široke, zvončaste krivulje z majhnimi standardnimi odstopanji pa ozke. Zvonaste krivulje z večjimi povprečji so pomaknjene bolj v desno kot tiste z manjšimi sredstvi

Primer

Da bi bilo to malo bolj konkretno, se pretvarjajmo, da izmerimo premer 500 zrn koruze. Nato te podatke posnamemo, analiziramo in prikažemo v grafu. Ugotovljeno je bilo, da je niz podatkov oblikovan kot zvonasta krivulja in ima povprečje 1,2 cm s standardnim odklonom ,4 cm. Zdaj pa predpostavimo, da naredimo isto s 500 zrni fižola in ugotovimo, da imajo srednji premer 0,8 cm s standardnim odklonom 0,04 cm.

Zvonasti krivulji iz obeh teh nizov podatkov sta narisani zgoraj. Rdeča krivulja ustreza podatkom o koruzi, zelena krivulja pa podatkom o fižolu. Kot lahko vidimo, so središča in širine teh dveh krivulj različni.

To sta očitno dve različni zvonasti krivulji. So drugačni, ker njihova sredstva in standardni odkloni se ne ujemajo. Ker imajo lahko vsi zanimivi nabori podatkov, na katere naletimo, katero koli pozitivno število kot standardno deviacijo in katero koli število kot povprečje, v resnici samo praskamo po površini neskončno število zvončastih krivulj. To je veliko ovinkov in veliko preveč, da bi se z njimi ukvarjali. Kakšna je rešitev?

Zelo posebna zvonasta krivulja

Eden od ciljev matematike je posploševanje stvari, kadar koli je to mogoče. Včasih je več posameznih težav posebni primeri ene same težave. Ta situacija, ki vključuje zvončaste krivulje, je odlična ilustracija tega. Namesto da bi se ukvarjali z neskončnim številom zvonastih krivulj, jih lahko vse povežemo z eno samo krivuljo. Ta posebna zvonasta krivulja se imenuje standardna zvonasta krivulja ali standardna normalna porazdelitev.

Standardna zvonasta krivulja ima povprečje nič in standardno odstopanje ena. Katera koli druga zvonasta krivulja se lahko primerja s tem standardom s pomočjo apreprost izračun.

Značilnosti standardne normalne porazdelitve

Vse lastnosti katere koli zvonaste krivulje veljajo za standardno normalno porazdelitev.

• Standardna normalna porazdelitev nima samo povprečja nič, ampak tudi mediano in modus nič. To je središče krivulje.
• Standardna normalna porazdelitev kaže zrcalno simetrijo na nič. Polovica krivulje je levo od ničle, polovica krivulje pa desno. Če bi krivuljo prepognili vzdolž navpične črte na nič, bi se obe polovici popolnoma ujemali.
• Standardna normalna porazdelitev sledi pravilu 68-95-99,7, ki nam omogoča preprost način za oceno naslednjega:
  • Približno 68 % vseh podatkov je med -1 in 1.
  • Približno 95 % vseh podatkov je med -2 ​​in 2.
  • Približno 99,7 % vseh podatkov je med -3 in 3.

Zakaj nam je mar

Na tej točki se morda vprašamo, zakaj bi se ukvarjali s standardno zvonasto krivuljo? Morda se zdi nepotreben zaplet, vendar bo standardna zvonasta krivulja koristna, ko nadaljujemo s statistiko.

Ugotovili bomo, da ena vrsta težav v statistiki zahteva, da poiščemo območja pod deli katere koli zvonaste krivulje, na katero naletimo. Zvonasta krivulja ni lepa oblika za območja. Ni kot pravokotnik oz pravokotni trikotnik ki imajo enostavno ploščinske formule . Iskanje območij delov zvonaste krivulje je lahko težavno, pravzaprav tako težko, da bi morali uporabiti nekaj računa. Če ne standardiziramo svojih zvonastih krivulj, bi morali vsakič, ko želimo najti območje, narediti nekaj računa. Če standardiziramo svoje krivulje, je bilo vse delo pri izračunu površin opravljeno namesto nas.