Dvodimenzionalna kinematika ali gibanje v ravnini

Daniel Grill / Getty Images

Ta članek opisuje temeljne pojme, potrebne za analizo gibanja predmetov v dveh dimenzijah, ne glede na sile, ki povzročajo vključeni pospešek. Primer te vrste težave bi bilo metanje žoge ali streljanje s topovsko kroglo. Predpostavlja poznavanje enodimenzionalna kinematika , saj razširi iste koncepte v dvodimenzionalni vektorski prostor.

Izbira koordinat

Kinematika vključuje premik, hitrost in pospešek, kar je vse vektorske količine ki zahtevajo velikost in smer. Če želite torej začeti s problemom dvodimenzionalne kinematike, morate najprej definirati koordinatni sistem uporabljate. Na splošno bo v smislu an x -os in a Y -os, usmerjena tako, da je gibanje v pozitivni smeri, čeprav lahko v nekaterih okoliščinah to ni najboljša metoda.

V primerih, ko se upošteva gravitacija, je običajno smer gravitacije v negativni smeri. Y smer. To je konvencija, ki na splošno poenostavi problem, čeprav bi bilo mogoče izvesti izračune z drugačno usmeritvijo, če bi res želeli.

Vektor hitrosti

Vektor položaja r je vektor, ki poteka od izhodišča koordinatnega sistema do dane točke v sistemu. Sprememba položaja (Δ r , izgovorjeno 'Delta r ') je razlika med začetno točko ( r ₁) do končne točke ( r _dva). Definiramo povprečna hitrost ( v _od ) kot:

v _od = ( r _dva- r ₁) / ( t _dva- t ₁) = D r /D t

Če vzamemo mejo kot Δ t približuje 0, dosežemo trenutna hitrost v . V računskem smislu je to izpeljanka iz r s spoštovanjem do t , oz d r / dt .

Ko se razlika v času zmanjša, se začetna in končna točka približata. Od smeri r je v isti smeri kot v , postane jasno, da vektor trenutne hitrosti je v vsaki točki na poti tangenten na pot .

Komponente hitrosti

Uporabna lastnost vektorskih količin je, da jih je mogoče razdeliti na njihove sestavne vektorje. Izpeljanka vektorja je vsota njegovih sestavnih izpeljank, torej:

v_x = dx / dt
v_Y = ti / dt

Velikost vektorja hitrosti je podana s Pitagorovim izrekom v obliki:

| v | = v = sqrt ( v_x ^dva+ v_Y ^dva)

Smer v je usmerjen alfa stopinj v nasprotni smeri urinega kazalca od x -komponenta in se lahko izračuna iz naslednje enačbe:

torej alfa = v_Y / v_x

Vektor pospeška

Pospešek je sprememba hitrosti v določenem časovnem obdobju. Podobno kot pri zgornji analizi ugotovimo, da je Δ v /D t . Meja tega kot Δ t se približa 0, dobi izpeljanko v s spoštovanjem do t .

V smislu komponent lahko vektor pospeška zapišemo kot:

a_x = dv_x / dt
a_Y = dv_Y / dt

oz

a_x = d ^dva x / dt ^dva
a_Y = d ^dva Y / dt ^dva

Velikost in kot (označeno kot beta razlikovati od alfa ) neto vektorja pospeška se izračunajo s komponentami na podoben način kot tiste za hitrost.

Delo s komponentami

Dvodimenzionalna kinematika pogosto vključuje razdelitev ustreznih vektorjev na njihove x - in Y -komponente, nato analizira vsako komponento, kot da gre za enodimenzionalne primere. Ko je ta analiza končana, se komponente hitrosti in/ali pospeška nato ponovno združijo, da se dobijo nastali dvodimenzionalni vektorji hitrosti in/ali pospeška.

Tridimenzionalna kinematika

Vse zgornje enačbe je mogoče razširiti za gibanje v treh dimenzijah z dodajanjem a z -sestavni del analize. To je na splošno dokaj intuitivno, čeprav je treba paziti, da se prepričamo, da je to narejeno v pravilni obliki, zlasti v zvezi z izračunom orientacijskega kota vektorja.

UredilAnne Marie Helmenstine, dr.