Verjetnosti za met treh kock

Igor Galich / EyeEm / Getty Images

Kocke ponujajo odlične ilustracije za pojmov v verjetnosti . Najpogosteje uporabljene kocke so kocke s šestimi stranicami. Tukaj bomo videli, kako izračunati verjetnosti za met treh standardnih kock. Razmeroma standarden problem je izračunati verjetnost vsote, dobljene z metanje dveh kock . Na voljo je skupno 36 različnih metov z dvema kockama, s poljubno vsoto od 2 do 12. Kako se problem spremeni, če dodamo več kock?

Možni izidi in vsote

Tako kot ima ena kocka šest izidov in dve kocki 6^dva= 36 rezultatov, verjetnostni poskus metanja treh kock ima 6³= 216 rezultatov. Ta ideja se dodatno posplošuje za več kock. Če se zvijemo n kocke, potem jih je 6 ⁿ rezultati.

Upoštevamo lahko tudi možne vsote iz metanja več kock. Najmanjša možna vsota se pojavi, ko so vse kocke najmanjše ali vsaka ena. To daje vsoto tri, ko vržemo tri kocke. Največje število na kocki je šest, kar pomeni, da se največja možna vsota pojavi, ko so vse tri kocke šestice. Vsota te situacije je 18.

Kdaj n kocke so vržene, najmanjša možna vsota je n in največja možna vsota je 6 n .

• Obstaja en možen način, kako lahko tri kocke skupaj znašajo 3
• 3 načine za 4
• 6 za 5
• 10 za 6
• 15 za 7
• 21 za 8
• 25 za 9
• 27 za 10
• 27 za 11
• 25 za 12
• 21 za 13
• 15 za 14
• 10 za 15
• 6 za 16
• 3 za 17
• 1 za 18

Oblikovanje vsot

Kot je razloženo zgoraj, za tri kocke možne vsote vključujejo vsako število od tri do 18. Verjetnosti lahko izračunate z uporabo strategije štetja in spoznanje, da iščemo načine za razdelitev števila na natanko tri cela števila. Na primer, edini način za pridobitev vsote tri je 3 = 1 + 1 + 1. Ker je vsaka kocka neodvisna od drugih, lahko vsoto, kot je štiri, dobimo na tri različne načine:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Nadaljnji argumenti štetja se lahko uporabijo za iskanje števila načinov oblikovanja drugih vsot. Particije za vsako vsoto so naslednje:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Ko tri različne številke tvorijo particijo, na primer 7 = 1 + 2 + 4, so 3! (3x2x1) različne načine permutiranje te številke. To bi torej štelo k trem rezultatom v vzorčnem prostoru. Ko dve različni številki tvorita particijo, potem obstajajo trije različni načini za zamenjavo teh številk.

Specifične verjetnosti

Skupno število načinov za pridobitev vsake vsote delimo s skupnim številom rezultatov v vzorčni prostor , ali 216. Rezultati so:

• Verjetnost vsote 3: 1/216 = 0,5 %
• Verjetnost vsote 4: 3/216 = 1,4 %
• Verjetnost vsote 5: 6/216 = 2,8 %
• Verjetnost vsote 6: 10/216 = 4,6 %
• Verjetnost vsote 7: 15/216 = 7,0 %
• Verjetnost vsote 8: 21/216 = 9,7 %
• Verjetnost vsote 9: 25/216 = 11,6 %
• Verjetnost vsote 10: 27/216 = 12,5 %
• Verjetnost vsote 11: 27/216 = 12,5 %
• Verjetnost vsote 12: 25/216 = 11,6 %
• Verjetnost vsote 13: 21/216 = 9,7 %
• Verjetnost vsote 14: 15/216 = 7,0 %
• Verjetnost vsote 15: 10/216 = 4,6 %
• Verjetnost vsote 16: 6/216 = 2,8 %
• Verjetnost vsote 17: 3/216 = 1,4 %
• Verjetnost vsote 18: 1/216 = 0,5 %

Kot je razvidno, sta skrajni vrednosti 3 in 18 najmanj verjetni. Najbolj verjetne so vsote, ki so točno na sredini. To ustreza opazovanemu, ko sta bili vrženi dve kocki.