Razumevanje kvantilov: definicije in uporaba

Slike junakov/Getty Images

Povzetek statistike, kot je mediana, prvi kvartil in tretji kvartil so meritve položaja. To je zato, ker te številke kažejo, kje je določen delež porazdelitve podatkov. Na primer, mediana je srednji položaj preiskovanih podatkov. Polovica podatkov ima vrednosti, nižje od mediane. Podobno ima 25 % podatkov vrednosti, nižje od prvega kvartila, 75 % podatkov pa ima vrednosti, nižje od tretjega kvartila.

Ta koncept je mogoče posplošiti. Eden od načinov za to je, da razmislite percentili . 90. percentil označuje točko, kjer ima 90 % odstotkov podatkov vrednosti, nižje od te številke. Na splošno, str th percentil je število n za katere str % podatkov je manj kot n .

Zvezne naključne spremenljivke

Čeprav so statistike vrstnega reda mediane, prvega kvartila in tretjega kvartila običajno uvedene v nastavitvi z diskretnim naborom podatkov, je to statistiko mogoče definirati tudi za zvezno naključno spremenljivko. Ker delamo z zvezno porazdelitvijo, uporabljamo integral. The str th percentil je število n tako da:

∫_-₶ ⁿ f ( x ) dx = str /100.

Tukaj f ( x ) je funkcija gostote verjetnosti. Tako lahko dobimo poljuben percentil, ki ga želimo za a

Kvantili

Nadaljnja posplošitev je ugotovitev, da naša statistika naročil deli distribucijo, s katero delamo. Mediana razdeli nabor podatkov na pol, mediana ali 50. percentil zvezne porazdelitve pa razdeli porazdelitev na pol glede na površino. Prvi kvartil, medianain tretji kvartil razdeli naše podatke na štiri dele z enakim številom v vsakem. Z zgornjim integralom lahko dobimo 25., 50. in 75. percentil ter razdelimo zvezno porazdelitev na štiri enake površine.

Ta postopek lahko posplošimo. Vprašanje, s katerim lahko začnemo, ima naravno število n , kako lahko porazdelitev spremenljivke razdelimo na n enako veliki kosi? To neposredno govori o ideji kvantilov.

The n kvantile za nabor podatkov približno najdemo tako, da podatke razvrstimo po vrstnem redu in nato to razvrstitev razdelimo na n - 1 enako razmaknjena točka na intervalu.

Če imamo funkcijo gostote verjetnosti za zvezno naključno spremenljivko, uporabimo zgornji integral za iskanje kvantilov. Za n kvantili, želimo:

• Prvi, ki ima 1/ n območja distribucije levo od njega.
• Drugi, ki ima 2/ n območja distribucije levo od njega.
• The r imeti r / n območja distribucije levo od njega.
• Zadnji, ki ima ( n - 1)/ n območja distribucije levo od njega.

To vidimo za vsako naravno število n , the n kvantili ustrezajo 100 r / n th percentila, kjer r je lahko poljubno naravno število od 1 do n - 1.

Skupni kvantili

Nekatere vrste kvantilov se uporabljajo dovolj pogosto, da imajo posebna imena. Spodaj je seznam teh:

• Kvantil 2 se imenuje mediana
• Trije kvantili se imenujejo tercili
• 4 kvantile imenujemo kvartili
• 5 kvantilov se imenujejo kvintili
• 6 kvantilov se imenujejo sekstili
• 7 kvantilov imenujemo septili
• 8 kvantilov imenujemo oktili
• 10 kvantilov imenujemo decili
• 12 kvantilov imenujemo duodecili
• 20 kvantilov se imenujejo vigintili
• 100 kvantilov imenujemo percentili
• 1000 kvantilov imenujemo promili

Seveda poleg tistih na zgornjem seznamu obstajajo tudi drugi kvantili. Velikokrat se specifični uporabljeni kvantil ujema z velikostjo vzorca iz neprekinjenega distribucija .

Uporaba kvantilov

Poleg določanja položaja nabora podatkov so kvantili koristni še na druge načine. Recimo, da imamo preprost naključni vzorec iz populacije in porazdelitev populacije ni znana. Da bi lažje ugotovili, ali je model, kot je normalna porazdelitev ali Weibullova porazdelitev, primeren za populacijo, iz katere smo vzorčili, si lahko ogledamo kvantile naših podatkov in modela.

Z ujemanjem kvantilov iz naših vzorčnih podatkov s kvantili iz določenega porazdelitev verjetnosti , rezultat je zbirka seznanjenih podatkov. Te podatke narišemo v obliki razpršenega grafa, znanega kot graf kvantil-kvantil ali graf q-q. Če je dobljeni razpršeni grafikon približno linearen, je model primeren za naše podatke.