Kakšna je razlika med dvema nizoma v teoriji množic?

Rdeče območje Vennovega diagrama označuje množico A - B. C.K.Taylor

Razlika dveh nizov, pisano A - B je množica vseh elementov A ki niso elementi B . Operacija razlike je poleg unije in presečišča pomembna in temeljno delovanje teorije množic .

Opis razlike

Odštevanje enega števila od drugega si lahko predstavljamo na več različnih načinov. En model za pomoč pri razumevanju tega koncepta se imenuje model takeaway of odštevanje . Pri tem bi problem 5 - 2 = 3 prikazali tako, da bi začeli s petimi predmeti, odstranili dva od njih in prešteli, da so ostali trije. Na podoben način, kot najdemo razliko med dvema številoma, lahko najdemo razliko dveh množic.

Primer

Ogledali si bomo primer nastavljene razlike. Da vidim, kako je razlika dveh kompleti tvori novo množico, razmislimo o množicah A = {1, 2, 3, 4, 5} in B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Da najdem razliko A - B teh dveh sklopov začnemo z zapisom vseh elementov A , in nato odvzame vse elemente A tudi to je element B . Od A si deli elemente 3, 4 in 5 B , to nam daje nastavljeno razliko A - B = {1, 2}.

Vrstni red je pomemben

Tako kot nam razlike 4 - 7 in 7 - 4 dajejo različne odgovore, moramo biti previdni pri vrstnem redu, v katerem izračunamo nastavljeno razliko. Če uporabimo strokovni izraz iz matematike, bi rekli, da množična operacija razlike ni komutativna. To pomeni, da na splošno ne moremo spremeniti vrstnega reda razlike dveh nizov in pričakovati enakega rezultata. To lahko natančneje trdimo za vse sklope A in B , A - B ni enako B - A .

Če želite to videti, se vrnite na zgornji primer. To smo izračunali za komplete A = {1, 2, 3, 4, 5} in B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, razlika A - B = {1, 2}. Za primerjavo s tem B - A, začnemo z elementi B , ki so 3, 4, 5, 6, 7, 8, in nato odstranite 3, 4 in 5, ker so skupni z A . Rezultat je B - A = {6, 7, 8}. Ta primer nam to jasno kaže A - B ni enako B - A .

Dopolnitev

Ena vrsta razlike je dovolj pomembna, da upravičuje svoje posebno ime in simbol. To se imenuje komplement in se uporablja za nastavljeno razliko, ko je prvi niz je univerzalni komplet. Dopolnilo k A je podan z izrazom IN - A . To se nanaša na množico vseh elementov v univerzalni množici, ki niso elementi A . Ker se razume, da je nabor elementov med katerimi lahko izbiramo, so vzeti iz univerzalnega nabora, lahko preprosto rečemo, da so dopolnilo A je množica, sestavljena iz elementov, ki niso elementi A .

Komplement množice je relativen glede na univerzalno množico, s katero delamo. z A = {1, 2, 3} in IN = {1, 2, 3, 4, 5}, komplement od A je {4, 5}. Če je naš univerzalni niz drugačen, recimo IN = {-3, -2, 0, 1, 2, 3 }, nato pa komplement A {-3, -2, -1, 0}. Vedno bodite pozorni na to, kateri univerzalni komplet uporabljate.

Zapis za komplement

Beseda 'komplement' se začne s črko C, zato se ta uporablja v zapisu. Dopolnitev kompleta A je zapisano kot A ^C. Tako lahko izrazimo definicijo komplementa v simbolih kot: A ^C= IN - A .

Drug način, ki se običajno uporablja za označevanje komplementa množice, vključuje apostrof in je zapisan kot A '.

Druge identitete, ki vključujejo razliko in dopolnitve

Obstaja veliko množičnih identitet, ki vključujejo uporabo razlik in komplementarnih operacij. Nekatere identitete združujejo druge množične operacije, kot je križišče in zveza . Nekaj ​​pomembnejših je navedenih spodaj. Za vse komplete A , in B in D imamo:

• A - A =∅
• A - ∅ = A
• ∅ - A = ∅
• A - IN = ∅
• ( A ^C)^C= A
• DeMorganov zakon I: ( A ∩ B )^C= A ^C∪ B ^C
• DeMorganov zakon II: ( A ∪ B )^C= A ^C∩ B ^C