Definicija in uporaba unije v matematiki

Ena operacija, ki se pogosto uporablja za oblikovanje novih nizov iz starih, se imenuje združevanje. V splošni rabi beseda sindikat pomeni združevanje, kot so sindikati v organiziranem delu ali Stanje Unije naslov, ki ga ZDA Predsednik pred skupno sejo kongresa. V matematičnem smislu združitev dveh nizov ohranja to idejo združevanja. Natančneje, združitev dveh množic A in B je množica vseh elementov x tako da x je element nabora A oz x je element nabora B . Beseda, ki označuje, da uporabljamo zvezo, je beseda 'ali'.

beseda 'ali'

Ko v vsakodnevnih pogovorih uporabljamo besedo 'ali', se morda ne zavedamo, da se ta beseda uporablja na dva različna načina. Način se običajno sklepa iz konteksta pogovora. Če bi vas vprašali Ali želite piščanca ali zrezek? običajna implikacija je, da lahko imate eno ali drugo, ne pa obojega. Primerjajte to z vprašanjem, ali želite na pečenem krompirju maslo ali kislo smetano? Tukaj je 'ali' uporabljen v vključujočem pomenu, saj lahko izberete samo maslo, samo kislo smetano ali oboje, maslo in kislo smetano.

V matematiki se beseda 'ali' uporablja v inkluzivnem pomenu. Torej izjava, ' x je element A ali element B ' pomeni, da je možno eno od treh:

• x je element pravičnega A in ne element B
• x je element pravičnega B in ne element A .
• x je element obojega A in B . (Lahko bi rekli tudi tako x je element presečišča A in B

Primer

Za primer, kako unija dveh množic tvori novo množico, si oglejmo množice A = {1, 2, 3, 4, 5} in B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Da bi našli unijo teh dveh nizov, preprosto naštejemo vse elemente, ki jih vidimo, pri čemer pazimo, da ne podvajamo nobenega elementa. Števila 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 so v enem ali drugem nizu, zato je zveza A in B je {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Zapis za Union

Poleg razumevanja konceptov v zvezi z operacijami teorije množic je pomembno znati brati simbole, ki se uporabljajo za označevanje teh operacij. Simbol, ki se uporablja za združitev dveh sklopov A in B daje A ∪ B . Eden od načinov, kako si zapomniti simbol ∪, ki se nanaša na unijo, je, da opazite njegovo podobnost z veliko črko U, kar je okrajšava za besedo unija. Bodite previdni, saj je simbol za združitev zelo podoben simbolu za križišče . Eno dobimo iz drugega z navpičnim preobratom.

Če želite videti ta zapis v akciji, si oglejte zgornji primer. Tukaj smo imeli komplete A = {1, 2, 3, 4, 5} in B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Tako bi zapisali postavljeno enačbo A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Zveza s praznim nizom

Ena osnovna identiteta, ki vključuje unijo, nam pokaže, kaj se zgodi, ko vzamemo unijo katere koli množice s prazno množico, označeno z #8709. Prazna množica je množica brez elementov. Torej pridružitev tega kateremu koli drugemu nizu ne bo imela nobenega učinka. Z drugimi besedami, združitev katere koli množice s prazno množico nam bo vrnila prvotno množico

Ta identiteta postane z uporabo našega zapisa še bolj strnjena. Imamo identiteto: A ∪ ∅ = A .

Združitev z univerzalnim kompletom

Za drugo skrajnost, kaj se zgodi, ko pregledamo zveza množice z univerzalnim kompletom? Ker univerzalna množica vsebuje vse elemente, temu ne moremo dodati ničesar drugega. Torej je unija ali katera koli množica z univerzalno množico univerzalna množica.

Spet nam naš zapis pomaga izraziti to identiteto v bolj kompaktni obliki. Za katerikoli komplet A in univerzalni set IN , A ∪ IN = IN .

Druge identitete, ki vključujejo Unijo

Obstaja veliko več nastavljenih identitet, ki vključujejo uporabo operacije unije. Seveda je vedno dobro praksa z uporabo jezika teorije množic. Nekaj ​​pomembnejših je navedenih spodaj. Za vse komplete A , in B in D imamo:

• Refleksivna lastnost: A ∪ A = A
• Komutativna lastnost: A ∪ B = B ∪ A
• Asociativna lastnost: ( A ∪ B ) ∪ D = A ∪ ( B ∪ D )
• DeMorganov zakon I: ( A ∩ B )^C= A ^C∪ B ^C
• DeMorganov zakon II: ( A ∪ B )^C= A ^C∩ B ^C