Kako rešiti sistem linearnih enačb

Yagi Studio / Getty Images

V matematiki je linearna enačba enačba, ki vsebuje dve spremenljivki in jo je mogoče narisati na graf kot ravno črto. Sistem linearnih enačb je skupina dveh ali več linearnih enačb, ki vse vsebujejo isti niz spremenljivk. Sisteme linearnih enačb je mogoče uporabiti za modeliranje problemov iz resničnega sveta. Rešujejo jih lahko z več različnimi metodami:

1. Grafiranje
2. Zamenjava
3. Odprava po dodatek
4. Odprava po odštevanje

01 od 04

Grafiranje

Eric Raptosh Photography/Blend Images/Getty Images

Grafiranje je eden najpreprostejših načinov za reševanje sistema linearnih enačb. Vse, kar morate storiti, je, da vsako enačbo narišete kot črto in poiščete točko(-e), kjer se črti sekata.

Na primer, razmislite o naslednjem sistemu linearnih enačb, ki vsebuje spremenljivke x in Y :

Y = x + 3
Y = -1 x - 3

Te enačbe so že zapisane oblika prereza naklona , zaradi česar jih je enostavno grafično prikazati. Če enačbe ne bi bile zapisane v obliki nagiba, bi jih morali najprej poenostaviti. Ko je to storjeno, se začne reševanje za x in Y zahteva le nekaj preprostih korakov:

1. Grafirajte obe enačbi.

2. Poiščite točko seka enačb. V tem primeru je odgovor (-3, 0).

3. Preverite, ali je vaš odgovor pravilen, tako da vnesete vrednosti x = -3 in Y = 0 v prvotne enačbe.

Y = x + 3
(0) = (-3) + 3
0 = 0

Y = -1 x - 3
0 = -1(-3) - 3
0 = 3 - 3
0 = 0

02 od 04

Zamenjava

Drug način za rešitev sistema enačb je substitucija. S to metodo v bistvu poenostavite eno enačbo in jo vključite v drugo, kar vam omogoča, da izločite eno od neznanih spremenljivk.

Razmislite o naslednjem sistemu linearnih enačb:

3 x + Y = 6
x = 18 -3 Y

V drugi enačbi je x je že izoliran. Če temu ne bi bilo tako, bi morali najprej poenostaviti enačbo za izolacijo x . Ob izolaciji x v drugi enačbi lahko nato zamenjamo x v prvi enačbi z ekvivalentno vrednostjo iz druge enačbe: (18 - 3 leta) .

1. Zamenjajte x v prvi enačbi z dano vrednostjo x v drugi enačbi.

3 ( 18 – 3 leta ) + Y = 6

2. Poenostavite vsako stran enačbe.

54 – 9 Y + Y = 6
54 – 8 Y = 6

3. Reši enačbo za Y .

54 – 8 Y – 54 = 6 – 54
-8 Y = -48
-8 Y /-8 = -48/-8

y = 6

4. Priključite Y = 6 in rešite x .

x = 18 -3 Y
x = 18 -3(6)
x = 18 - 18
x = 0

5. Preverite, ali je (0,6) rešitev.

x = 18 -3 Y
0 = 18 – 3(6)
0 = 18 -18
0 = 0

03 od 04

Izločanje z dodajanjem

Če so linearne enačbe, ki so vam dane, zapisane s spremenljivkami na eni strani in konstanto na drugi strani, je najlažji način za rešitev sistema z eliminacijo.

Razmislite o naslednjem sistemu linearnih enačb:

x + Y = 180
3 x + 2 Y = 414

1. Najprej napiši enačbe eno zraven druge, da boš zlahka primerjal koeficiente z vsako spremenljivko.

2. Nato pomnožite prvo enačbo z -3.

-3(x + y = 180)

3. Zakaj smo pomnožili z -3? Dodajte prvo enačbo drugi, da ugotovite.

-3x + -3y = -540
+ 3x + 2y = 414
0 + -1y = -126

Zdaj smo spremenljivko odpravili x .

4. Rešite spremenljivko Y :

Y = 126

5. Priključite Y = 126 najti x .

x + Y = 180
x + 126 = 180
x = 54

6. Preverite, ali je (54, 126) pravilen odgovor.

3 x + 2 Y = 414
3(54) + 2(126) = 414
414 = 414

04 od 04

Izločanje z odštevanjem

Drug način reševanja z izločitvijo je odštevanje, namesto dodajanja, danih linearnih enačb.

Razmislite o naslednjem sistemu linearnih enačb:

Y - 12 x = 3
Y - 5 x = -4

1. Namesto seštevanja enačb jih lahko odštejemo in tako izločimo Y .

Y - 12 x = 3
- ( Y - 5 x = -4)
0 - 7 x = 7

2. Reši za x .

-7 x = 7
x = -1

3. Priključite x = -1 za rešitev Y .

Y - 12 x = 3
Y - 12(-1) = 3
Y + 12 = 3
Y = -9

4. Preverite, ali je (-1, -9) pravilna rešitev.

(-9) - 5(-1) = -4
-9 + 5 = -4
-4 = -4