Kaj so trenutki v statistiki?

Sočutno oko/Fundacija/Robert Daly/OJO Images/Getty Images

Trenutki v matematični statistiki vključujejo osnovni izračun. Te izračune je mogoče uporabiti za iskanje povprečja, variance in asimetrije verjetnostne porazdelitve.

Recimo, da imamo nabor podatkov s skupno vrednostjo n diskretna točke. En pomemben izračun, ki je pravzaprav več številk, se imenuje s th trenutek. The s trenutek nabora podatkov z vrednostmi x ₁, x _dva, x ₃, ... , x_n je podana s formulo:

( x ₁ ^s + x _dva ^s + x ₃ ^s + ... + x_n^s )/ n

Uporaba te formule zahteva, da smo previdni pri našem vrstnem redu operacij. Najprej moramo narediti eksponente, sešteti in nato to vsoto deliti s n skupno število vrednosti podatkov.

Opomba o izrazu 'trenutek'

Izraz trenutek je vzeto iz fizike. V fiziki se moment sistema mas točk izračuna s formulo, ki je enaka zgornji, in ta formula se uporablja pri iskanju središča mase točk. V statistiki vrednosti niso več množice, a kot bomo videli, trenutki v statistiki še vedno nekaj merijo glede na središče vrednosti.​

Prvi trenutek

Za prvi trenutek smo postavili s = 1. Formula za prvi trenutek je tako:

( x ₁x_dva+ x ₃+ ... + x_n )/ n

To je identično formuli za vzorec pomeni .

Prvi trenutek vrednosti 1, 3, 6, 10 je (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.

Drugi trenutek

Za drugi trenutek smo postavili s = 2. Formula za drugi trenutek je:

( x ₁^dva+ x _dva^dva+ x ₃^dva+ ... + x_n ^dva)/ n

Drugi trenutek vrednosti 1, 3, 6, 10 je (1^dva+ 3^dva+ 6^dva+ 10^dva) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100) / 4 = 146/4 = 36,5.

Tretji trenutek

Za tretji trenutek smo postavili s = 3. Formula za tretji trenutek je:

( x ₁³+ x _dva³+ x ₃³+ ... + x_n ³)/ n

Tretji moment vrednosti 1, 3, 6, 10 je (1³+ 3³+ 6³+ 10³) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.

Višje trenutke lahko izračunamo na podoben način. Samo zamenjaj s v zgornji formuli s številko, ki označuje želeni trenutek.

Trenutki o povprečju

Sorodna ideja je ideja o s trenutek o povprečju. Pri tem izračunu izvedemo naslednje korake:

1. Najprej izračunajte povprečje vrednosti.
2. Nato to srednjo vrednost odštejte od vsake vrednosti.
3. Nato dvignite vsako od teh razlik na s moč.
4. Zdaj seštejte številke iz 3. koraka.
5. Na koncu to vsoto delimo s številom vrednosti, s katerimi smo začeli.

Formula za s trenutek o povprečju m vrednosti vrednot x ₁, x _dva, x ₃, ..., x_n podaja:

m_s = (( x ₁- m ) ^s + ( x _dva- m ) ^s + ( x ₃- m ) ^s + ... + ( x_n - m ) ^s )/ n

Prvi trenutek o povprečju

Prvi trenutek okoli povprečja je vedno enak nič, ne glede na to, s kakšnim naborom podatkov delamo. To je razvidno iz naslednjega:

m ₁= (( x ₁- m ) + ( x _dva- m ) + ( x ₃- m ) + ... + ( x_n - m ))/ n = (( x ₁+ x _dva+ x ₃+ ... + x_n ) - nm )/ n = m - m = 0.

Drugi trenutek o povprečju

Drugi moment o srednji vrednosti dobimo iz zgornje formule z nastavitvijo s = 2:

m _dva= (( x ₁- m )^dva+ ( x _dva- m )^dva+ ( x ₃- m )^dva+ ... + ( x_n - m )^dva)/ n

Ta formula je enakovredna tisti za varianco vzorca.

Na primer, razmislite o nizu 1, 3, 6, 10. Srednjo vrednost tega niza smo že izračunali na 5. To odštejte od vsake podatkovne vrednosti, da dobite razlike:

• 1 – 5 = -4
• 3 – 5 = -2
• 6 – 5 = 1
• 10 – 5 = 5

Vsako od teh vrednosti kvadriramo in jih seštejemo: (-4)^dva+ (-2)^dva+ 1^dva+ 5^dva= 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Nazadnje to število delite s številom podatkovnih točk: 46/4 = 11,5

Aplikacije Moments

Kot je navedeno zgoraj, je prvi trenutek povprečje, drugi trenutek okoli povprečja pa vzorecvarianca. Karl Pearson je uvedel uporabo tretjega momenta o srednji vrednosti pri računanju poševnost in četrti trenutek o povprečju pri izračunu kurtoza .