Kaj je črta najmanjših kvadratov?

Spoznajte najboljšo linijo

Sewaqu/Wikimedia Commons/Public Domain

Raztreseni grafikon je vrsta grafa, ki se uporablja za predstavitevNajosnovnejši vzorec, ki ga je treba iskati v nizu seznanjenih podatkov, je ravna črta. Skozi katerikoli dve točki lahko narišemo premico. Če sta na našem razpršenem grafu več kot dve točki, večinoma ne bomo mogli več narisati črte, ki gre skozi vsako točko. Namesto tega bomo narisali črto, ki poteka skozi sredino točk in prikazuje splošni linearni trend podatkov.

Ko gledamo točke v našem grafu in želimo narisati črto skozi te točke, se pojavi vprašanje. Katero črto naj narišemo? Obstaja neskončno število črt, ki bi jih lahko narisali. Če samo uporabimo svoje oči, je jasno, da lahko vsaka oseba, ki pogleda razpršeni grafikon, ustvari nekoliko drugačno črto. Ta dvoumnost je problem. Želimo imeti natančno definiran način, da vsi pridobijo isto linijo. Cilj je imeti matematično natančen opis, katero črto je treba narisati. Najmanjši kvadrati regresijska črtaje ena taka črta skozi naše podatkovne točke.

Najmanjši kvadrati

Ime črte najmanjših kvadratov pojasnjuje, kaj počne. Začnemo z zbirko točk s koordinatami, ki jih podaja ( x_jaz , Y_jaz ). Vsaka ravna črta bo potekala med temi točkami in bo šla nad ali pod vsako od njih. Razdalje od teh točk do premice lahko izračunamo tako, da izberemo vrednost x in nato odštevanje opazovanega Y koordinata, ki temu ustreza x Iz Y koordinata naše linije.

Različne črte skozi isti niz točk bi dale drugačen niz razdalj. Želimo, da so te razdalje tako majhne, ​​kot jih lahko naredimo. Vendar obstaja problem. Ker so naše razdalje lahko pozitivne ali negativne, se vsota vseh teh razdalj med seboj izniči. Vsota razdalj bo vedno enaka nič.

Rešitev tega problema je izločanje vseh negativnih števil s kvadriranjem razdalj med točkami in črto. To daje zbirko nenegativnih števil. Cilj, ki smo ga imeli, najti črto, ki se najbolje prilega, je enak, kot da bi bila vsota teh kvadratov razdalj čim manjša. Računstvo tukaj priskoči na pomoč. Postopek diferenciacije v računu omogoča minimiziranje vsote kvadratov razdalj od dane črte. To pojasnjuje frazo najmanjši kvadrati v našem imenu za to vrstico.

Linija najboljšega prileganja

Ker črta najmanjših kvadratov minimizira kvadrat razdalje med črto in našimi točkami, si lahko predstavljamo to črto kot tisto, ki najbolje ustreza našim podatkom. Zato je črta najmanjših kvadratov znana tudi kot črta najboljšega prileganja. Od vseh možnih črt, ki jih je mogoče narisati, je črta najmanjših kvadratov najbližja naboru podatkov kot celoti. To lahko pomeni, da naša linija ne bo dosegla katere koli točke v našem naboru podatkov.

Značilnosti črte najmanjših kvadratov

Obstaja nekaj lastnosti, ki jih ima vsaka črta najmanjših kvadratov. Prva zanimivost se nanaša na naklon naše črte. Pobočje ima povezavo z korelacijski koeficient naših podatkov. Pravzaprav je naklon črte enak r(s_Y/s_x) . Tukaj s_x označuje standardno deviacijo x koordinate in s_Y standardni odklon od Y koordinate naših podatkov. Predznak korelacijskega koeficienta je neposredno povezan s predznakom naklona naše črte najmanjših kvadratov.

Druga značilnost črte najmanjših kvadratov se nanaša na točko, skozi katero poteka. Medtem ko je Y presek premice najmanjših kvadratov morda ni zanimiv s statističnega vidika, obstaja ena točka, ki je. Vsaka črta najmanjših kvadratov poteka skozi sredino podatkov. Ta srednja točka ima x koordinirati, to je pomeni od x vrednote in a Y koordinata, ki je sredina Y vrednote.