Izračun verjetnosti naključne izbire praštevila

ROBERT BROOK / Getty Images

Teorija števil je veja matematika ki se nanaša na množico celih števil. S tem se nekoliko omejimo, saj ne preučujemo neposredno drugih števil, na primer iracionalnih. Vendar pa druge vrste realna števila so uporabljeni. Poleg tega ima tema verjetnosti veliko povezav in presečišč s teorijo števil. Ena od teh povezav je povezana z distribucijo praštevila. Natančneje se lahko vprašamo, kakšna je verjetnost, da naključno izbrano celo število od 1 do x je praštevilo?

Predpostavke in definicije

Kot pri vsakem matematičnem problemu je pomembno razumeti ne samo, katere predpostavke so narejene, ampak tudi definicije vseh ključnih izrazov v problemu. Pri tej nalogi obravnavamo pozitivna cela števila, kar pomeni cela števila 1, 2, 3, . . . do neke številke x . Naključno izberemo eno od teh številk, kar pomeni, da vse x izmed njih je enako verjetno, da bodo izbrani.

Poskušamo ugotoviti verjetnost, da je izbrano praštevilo. Zato moramo razumeti definicijo praštevila. Praštevilo je pozitivno celo število, ki ima natanko dva faktorja. To pomeni, da sta edina delitelja praštevil ena in število samo. Torej so 2, 3 in 5 praštevila, vendar 4, 8 in 12 niso praštevila. Opažamo, da je število 1, ker morata biti v praštevilu dva faktorja ne prime.

Rešitev za nizke številke

Rešitev te težave je enostavna za nizke številke x . Vse, kar moramo storiti, je preprosto prešteti števila praštevil, ki so manjša ali enaka x . Število praštevil delimo z manj ali enako x po številu x .

Na primer, če želimo ugotoviti verjetnost, da je praštevilo izbrano od 1 do 10, moramo število praštevil od 1 do 10 deliti z 10. Števila 2, 3, 5, 7 so praštevila, zato je verjetnost, da je praštevilo izbrano je 4/10 = 40 %.

Verjetnost, da je praštevilo izbrano od 1 do 50, je mogoče ugotoviti na podoben način. Praštevila, manjša od 50, so: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 in 47. Obstaja 15 praštevil, ki so enaka ali manjša od 50. Tako je verjetnost, da je praštevilo izbrano naključno, 15/50 = 30 %.

Ta postopek lahko izvedemo s preprostim štetjem praštevil, dokler imamo seznam praštevil. Na primer, obstaja 25 praštevil, manjših ali enakih 100. (Tako je verjetnost, da je naključno izbrano število od 1 do 100 praštevila, 25/100 = 25%.) Če pa nimamo seznama praštevil, lahko bi bilo računsko zastrašujoče določiti nabor praštevil, ki so manjša ali enaka danemu številu x .

Izrek o praštevilu

Če nimate števila praštevil, ki so manjša ali enaka x , potem obstaja alternativni način za rešitev te težave. Rešitev vključuje matematični rezultat, znan kot izrek o praštevilu. To je izjava o celotni porazdelitvi praštevil in se lahko uporabi za približek verjetnosti, ki jo poskušamo določiti.

Izrek praštevil navaja, da obstaja približno x / ln( x ) praštevila, ki so manjša ali enaka x . Tukaj ln( x ) označuje naravni logaritem od x , ali z drugimi besedami logaritem z osnovo število in . Kot vrednost x poveča se približek izboljša, v smislu, da vidimo zmanjšanje relativne napake med številom praštevil manj kot x in izraz x / ln( x ).

Uporaba izreka praštevil

Rezultat izreka o praštevilu lahko uporabimo za rešitev problema, ki ga poskušamo obravnavati. Iz izreka o praštevilu vemo, da obstaja približno x / ln( x ) praštevila, ki so manjša ali enaka x . Poleg tega jih je skupno x pozitivna cela števila manjša ali enaka x . Zato je verjetnost, da je naključno izbrano število v tem obsegu praštevilo ( x / ln( x ) ) / x = 1 / ln( x ).

Primer

Ta rezultat lahko zdaj uporabimo za približek verjetnosti, da naključno izberemo praštevilo iz prvega milijarde cela števila. Izračunamo naravni logaritem milijarde in vidimo, da je ln(1.000.000.000) približno 20,7 in 1/ln(1.000.000.000) približno 0,0483. Tako imamo približno 4,83 % verjetnost, da naključno izberemo praštevilo izmed prve milijarde celih števil.