Interval zaupanja za razliko dveh populacijskih deležev

Formula za interval zaupanja za razliko dveh razmerij. C.K. Taylor

Intervali zaupanja so en del inferencialna statistika . Osnovna ideja te teme je oceniti vrednost neznane populacije parameter z uporabo statističnega vzorca. Ne moremo samo oceniti vrednosti parametra, ampak lahko tudi prilagodimo naše metode za oceno razlike med dvema povezanima parametroma. Na primer, morda želimo ugotoviti razliko v odstotku moške volilne populacije v ZDA, ki podpira določen del zakonodaje, v primerjavi z žensko volilno populacijo.

Videli bomo, kako narediti to vrsto izračuna z izgradnjo intervala zaupanja za razliko dveh deležev populacije. V tem procesu bomo preučili nekaj teorije za tem izračunom. Videli bomo nekaj podobnosti v tem, kako zgradimo a interval zaupanja za posamezen delež populacije kot tudi a interval zaupanja za razliko dveh populacijskih povprečij .

Splošno

Preden pogledamo posebno formulo, ki jo bomo uporabili, razmislimo o splošnem okviru, v katerega se ujema ta vrsta intervala zaupanja. Oblika vrste intervala zaupanja, ki si ga bomo ogledali, je podana z naslednjo formulo:

Ocenite +/- stopnjo napake

Veliko intervalov zaupanja je te vrste. Izračunati moramo dve številki. Prva od teh vrednosti je ocena parametra. Druga vrednost je meja napake. Ta stopnja napake je razlog za dejstvo, da imamo oceno. Interval zaupanja nam ponuja vrsto možnih vrednosti za naš neznani parameter.

Pogoji

Pred kakršnim koli izračunom se moramo prepričati, da so izpolnjeni vsi pogoji. Da bi našli interval zaupanja za razliko dveh populacijskih deležev, se moramo prepričati, da velja naslednje:

• Imamo dva enostavni naključni vzorci iz velikih populacij. Tukaj 'velik' pomeni, da je populacija vsaj 20-krat večja od velikosti vzorca. Velikosti vzorcev bodo označene z n ₁in n _dva.
• Naši posamezniki so bili izbrani neodvisno drug od drugega.
• V vsakem našem vzorcu je vsaj deset uspehov in deset neuspehov.

Če zadnja postavka na seznamu ni izpolnjena, lahko to rešite. Lahko spremenimo interval zaupanja plus štiri gradnjo in pridobivanje robustne rezultate . V nadaljevanju predvidevamo, da so izpolnjeni vsi zgornji pogoji.

Vzorci in populacijski deleži

Zdaj smo pripravljeni zgraditi naš interval zaupanja. Začnemo z oceno razlike med našimi deleži prebivalstva. Oba deleža populacije sta ocenjena z vzorčnim deležem. Ti vzorčni deleži so statistični podatki, ki se ugotovijo tako, da se število uspehov v vsakem vzorcu deli in nato deli z ustrezno velikostjo vzorca.

Prvi populacijski delež je označen z str ₁. Če je število uspehov v našem vzorcu iz te populacije k ₁, potem imamo vzorčni delež k ₁ / n _1.

To statistiko označimo s p̂₁. Ta simbol beremo kot 'p₁-hat', ker je videti kot simbol p₁s klobukom na vrhu.

Na podoben način lahko izračunamo vzorčni delež iz naše druge populacije. Parameter iz te populacije je str _dva. Če je število uspehov v našem vzorcu iz te populacije k _dva, naš vzorčni delež pa je p̂_dva = k _dva / n _dva.

Ti dve statistiki postaneta prvi del našega intervala zaupanja. Ocena od str ₁je P₁. Ocena od str _dvaje P_dva.Torej ocena razlike str ₁- str _dvaje P₁- p̂_dva.

Vzorčna porazdelitev razlike deležev vzorcev

Nato moramo pridobiti formulo za mejo napake. Da bi to naredili, bomo najprej razmislili o porazdelitev vzorčenja od p̂₁. To je binomska porazdelitev z verjetnostjo uspeha str ₁in n ₁poskusi. Srednja vrednost te porazdelitve je delež str ₁. Standardni odklon te vrste naključne spremenljivke ima varianco str ₁(1 - str ₁)/ n ₁.

Vzorčna porazdelitev p̂_dvaje podoben p̂₁. Preprosto spremenite vse indekse iz 1 v 2 in dobili bomo binomsko porazdelitev s povprečjem p_dvain varianco str _dva(1 - str _dva)/ n _dva.

Zdaj potrebujemo nekaj rezultatov iz matematične statistike, da lahko določimo vzorčno porazdelitev p̂₁- p̂_dva. Srednja vrednost te porazdelitve je str ₁- str _dva. Zaradi dejstva, da se variance seštejejo, vidimo, da je varianca vzorčne porazdelitve str ₁(1 - str ₁)/ n ₁+ str _dva(1 - str _dva)/ n _dva.Standardni odklon porazdelitve je kvadratni koren te formule.

Narediti moramo nekaj prilagoditev. Prva je, da formula za standardno deviacijo p̂₁- p̂_dvauporablja neznane parametre str ₁in str _dva. Seveda, če bi res poznali te vrednosti, potem to sploh ne bi bil zanimiv statistični problem. Ne bi nam bilo treba ocenjevati razlike med str ₁in str _dva..Namesto tega bi lahko preprosto izračunali natančno razliko.

To težavo je mogoče odpraviti z izračunom standardne napake namesto standardnega odklona. Vse, kar moramo storiti, je nadomestiti deleže populacije z deleži vzorcev. Standardne napake se izračunajo na podlagi statistike namesto parametrov. Standardna napaka je uporabna, ker učinkovito oceni standardni odklon. Za nas to pomeni, da nam vrednosti parametrov ni treba več poznati str ₁in str _dva. . Ker so ti vzorčni deleži znani, je standardna napaka podana s kvadratnim korenom naslednjega izraza:

p̂₁(1 - p̂₁)/ n ₁+ p̂_dva(1 - p̂_dva)/ n _dva.

Druga točka, ki jo moramo obravnavati, je posebna oblika naše distribucije vzorčenja. Izkazalo se je, da lahko uporabimo normalno porazdelitev za približek vzorčne porazdelitve p̂₁- p̂_dva. Razlog za to je nekoliko tehnične narave, vendar je opisan v naslednjem odstavku.

Oba p̂₁in p̂_dvaimajo vzorčno porazdelitev, ki je binomska. Vsako od teh binomskih porazdelitev je mogoče precej dobro približati z normalno porazdelitvijo. Tako p̂₁- p̂_dvaje naključna spremenljivka. Oblikuje se kot linearna kombinacija dveh naključnih spremenljivk. Vsak od njih je aproksimiran z normalno porazdelitvijo. Zato je vzorčna porazdelitev p̂₁- p̂_dvaje tudi normalno porazdeljen.

Formula intervala zaupanja

Zdaj imamo vse, kar potrebujemo za sestavljanje našega intervala zaupanja. Ocena je (p̂₁- p̂_dva) in meja napake je z* [ p̂₁(1 - p̂₁)/ n ₁+ p̂_dva(1 - p̂_dva)/ n _dva.]^0,5. Vrednost, ki jo vnesemo z* narekuje stopnja zaupanja C. Pogosto uporabljene vrednosti za z* sta 1,645 za 90-odstotno zaupanje in 1,96 za 95-odstotno zaupanje. Te vrednosti za z* označujejo del standardne normalne porazdelitve, kjer točno C odstotkov porazdelitve je med -Z* in Z*.

Naslednja formula nam daje interval zaupanja za razliko dveh deležev populacije:

(p̂₁- p̂_dva) +/- z* [ p̂₁(1 - p̂₁)/ n ₁+ p̂_dva(1 - p̂_dva)/ n _dva.]^0,5