Eksponentna funkcija in razpad

v matematiki, eksponentni razpad opisuje postopek zmanjševanja zneska za dosledno odstotno stopnjo v določenem časovnem obdobju. Lahko se izrazi s formulo y=a(1-b)^x pri čemer Y je končni znesek, a je prvotni znesek, b je faktor razpada in x je količina časa, ki je pretekel.

Formula eksponentnega razpada je uporabna v različnih aplikacijah v resničnem svetu, predvsem za sledenje zalogam, ki se redno uporabljajo v enaki količini (na primer hrana za šolsko jedilnico), in je še posebej uporabna zaradi svoje zmožnosti hitre ocene dolgoročnih stroškov uporabe izdelka skozi čas.

Eksponentni razpad se razlikuje od linearni razpad v tem, da se faktor upadanja opira na odstotek prvotne količine, kar pomeni, da se bo dejansko število, za katero bi lahko zmanjšali prvotno količino, sčasoma spremenilo, medtem ko linearna funkcija vsakič zmanjša prvotno število za enako količino.

Je tudi nasprotje od eksponentna rast , ki se običajno pojavi na delniških trgih, kjer bo vrednost podjetja sčasoma eksponentno rasla, preden doseže plato. Lahko primerjate in primerjate razlike med eksponentno rastjo in propadom, vendar je precej preprosto: ena poveča prvotno količino, druga pa zmanjša.

Elementi formule eksponentnega razpada

Za začetek je pomembno, da prepoznate formulo eksponentnega razpada in da ste sposobni identificirati vsakega od njenih elementov:

y = a(1-b)^x

Da bi pravilno razumeli uporabnost formule razpada, je pomembno razumeti, kako je vsak od dejavnikov definiran, začenši s frazo 'faktor razpada', ki ga predstavlja črka b v formuli eksponentnega razpada – ki je odstotek, za katerega se bo prvotna količina vsakokrat zmanjšala.

Prvotni znesek tukaj – predstavljen s črko a v formuli je količina, preden pride do razpada, tako da če o tem razmišljate v praktičnem smislu, bi bila prvotna količina količina jabolk, ki jih kupi pekarna, eksponentni faktor pa bi bil odstotek jabolk, porabljenih vsako uro delati pite.

Eksponent, ki je v primeru eksponentnega upadanja vedno čas in je izražen s črko x, predstavlja, kako pogosto pride do upadanja in je običajno izražen v sekundah, minutah, urah, dnevih ali letih.

Primer eksponentnega razpada

Uporabite naslednji primer, da boste lažje razumeli koncept eksponentnega razpada v resničnem scenariju:

V ponedeljek kavarna Ledwith's Cafeteria postreže 5000 strankam, toda v torek zjutraj lokalne novice poročajo, da restavracija ni opravila zdravstvene inšpekcije in da ima – fuj! – kršitve v zvezi z zatiranjem škodljivcev. V torek kavarna postreže 2500 strankam. V sredo kavarna postreže le 1250 strank. V četrtek kavarna postreže pičlih 625 strank.

Kot lahko vidite, se je število strank vsak dan zmanjšalo za 50 odstotkov. Ta vrsta upadanja se razlikuje od linearne funkcije. V linearna funkcija , bi se število strank vsak dan zmanjšalo za enak znesek. Prvotni znesek ( a ) bi bil 5000, faktor razpada ( b ) bi bilo torej 0,5 (50 odstotkov zapisano kot decimalno število), vrednost časa ( x ) bi bilo določeno glede na to, za koliko dni želi Ledwith napovedati rezultate.

Če bi Ledwith vprašal, koliko strank bi izgubil v petih dneh, če bi se trend nadaljeval, bi lahko njegov računovodja našel rešitev tako, da bi vsa zgornja števila vključil v formulo eksponentnega razpada, da bi dobil naslednje: ​

y = 5000 (1-,5)⁵

Rešitev je 312 in pol, toda ker ne morete imeti polovične stranke, bi računovodja zaokrožil številko na 313 in lahko rekel, da lahko Ledwith v petih dneh pričakuje, da bo izgubil še 313 strank!