Zgodovina algebre

Članek iz Enciklopedije 1911

Peopleimages/Getty Images

Različni pisci so podali različne izpeljave besede 'algebra', ki je arabskega izvora. Prvo omembo besede najdemo v naslovu dela Mahommeda ben Muse al-Khwarizmija (Hovarezmi), ki je cvetel okoli začetka 9. stoletja. Celoten naslov je ilm al-jebr wa'l-muqabala, ki vsebuje ideje restitucije in primerjave ali nasprotja in primerjave ali razrešitve in enačbe, algebra ki je izpeljan iz glagola jabara, ponovno združiti in soočenje, od košček izenačiti. (Koren jabara srečamo tudi v slov iz algebre, kar pomeni 'postavljalec kosti' in je še vedno v splošni rabi v Španiji.) Enako izpeljavo navaja Lucas Paciolus ( Luca Pacioli ), ki besedno zvezo reproducira v transliterirani obliki alhebra in almukabala, in izum umetnosti pripisuje Arabcem.

Drugi pisci so besedo izpeljali iz arabske čestice do (določni člen) in gerber, kar pomeni 'moški'. Ker pa je bilo po naključju Geber ime slavnega mavrskega filozofa, ki je cvetel približno v 11. ali 12. stoletju, se domneva, da je bil ustanovitelj algebre, ki je od takrat ovekovečila njegovo ime. Pričevanja Petra Ramusa (1515-1572) o tej točki so zanimiva, vendar ne daje nobene avtoritete za svoje posebne izjave. V predgovoru k svojemu Dve knjigi aritmetike in enako število knjig algebre (1560) pravi: 'Ime algebra je sirsko in označuje umetnost ali doktrino odličnega človeka. Kajti Geber je v sirščini ime, ki se uporablja za moške in je včasih časten izraz, kot mojster ali doktor med nami. Bil je neki izobraženi matematik, ki je poslal svojo algebro, napisano v sirskem jeziku, Aleksandru Velikemu, in ta jo je poimenoval almucabala, to je knjiga temnih ali skrivnostnih stvari, ki bi jo drugi raje imenovali doktrina algebre. Še danes je ista knjiga zelo cenjena med učenimi v orientalskih narodih, pri Indijancih, ki gojijo to umetnost, pa jo imenujejo aljabra in Zora; čeprav ime avtorja samega ni znano.' Negotova avtoriteta teh izjav in verjetnost predhodne razlage sta povzročila, da so filologi sprejeli izpeljavo iz do in jabara. Robert Recorde v svojem Brusilni kamen Witte (1557) uporablja varianto alge, medtem ko John Dee (1527-1608) to potrjuje algiebar, in ne algebra, je pravilna oblika in se sklicuje na avtoriteto arabskega Avicene.

Čeprav je izraz 'algebra' zdaj v splošni rabi, so italijanski matematiki v renesansi uporabljali različne druge poimenovanja. Tako najdemo, da ga imenuje Paciolus l'Arte Magiore; ditta dal vulgar la Regula de la Cosa nad Alghebra e Almucabala. Ime glavna umetnost, večje umetnosti, je zasnovan tako, da jo razlikuje od manjša umetnost, manjša umetnost, izraz, ki ga je uporabil za moderno aritmetiko. Njegova druga varianta, ureditev stvari, pravilo stvari ali neznane količine, se zdi, da je bila v Italiji v splošni rabi, in beseda stvari se je več stoletij ohranilo v oblikah coss ali algebra, cossic ali algebraic, cossist ali algebraist itd. Drugi italijanski pisci so to poimenovali Pravna država in cenzus pravilo stvari in produkta ali korena in kvadrata. Načelo, na katerem temelji ta izraz, je verjetno v dejstvu, da je meril meje njihovih dosežkov v algebri, saj niso mogli rešiti enačb višje stopnje od kvadratne ali kvadratne.

Franciscus Vieta (Francois Viete) ga je poimenoval Specious Aritmetika, zaradi vrste vpletenih količin, ki jih je simbolično predstavil z različnimi črkami abecede. Sir Isaac Newton je uvedel izraz univerzalna aritmetika, saj se ukvarja z doktrino operacij, ki ne zadeva števil, ampak splošne simbole.

Ne glede na ta in druga idiosinkratična poimenovanja so se evropski matematiki držali starejšega imena, po katerem je predmet zdaj splošno znan.

Nadaljevanje na drugi strani.

Ta dokument je del članka o Algebri iz izdaje enciklopedije iz leta 1911, ki je tukaj v ZDA razveljavljena z avtorskimi pravicami. Članek je javno dostopen in to delo lahko kopirate, prenašate, tiskate in distribuirate, kot se vam zdi primerno .

Vloženi so bili vsi napori, da je to besedilo predstavljeno natančno in čisto, vendar ni nobenega jamstva za napake. Niti Melissa Snell niti About nista odgovorna za morebitne težave, ki jih imate z besedilno različico ali katero koli elektronsko obliko tega dokumenta.

Težko je izum katere koli umetnosti ali znanosti zagotovo pripisati kateri koli starosti ali rasi. Nekaj ​​fragmentarnih zapisov, ki so do nas prišli iz preteklih civilizacij, se ne sme šteti, kot da predstavljajo celotno njihovo znanje, in izpustitev znanosti ali umetnosti ne pomeni nujno, da sta bili znanost ali umetnost neznani. Prej je bila navada, da so izum algebre pripisali Grkom, toda od dešifriranja Rhindovega papirusa, ki ga je opravil Eisenlohr, se je to mnenje spremenilo, kajti v tem delu so različni znaki algebraične analize. Poseben problem --- kopica (hau) in njegova sedmina je 19 --- je rešen, kot bi morali zdaj rešiti preprosto enačbo; vendar Ahmes spreminja svoje metode pri drugih podobnih problemih. To odkritje nosi izum algebre v približno 1700 pr. n. št., če ne prej.

Verjetno je bila algebra Egipčanov najbolj rudimentarne narave, saj bi sicer morali pričakovati, da bomo našli njene sledi v delih grških aeometrov. med katerimi je bil prvi Tales iz Mileta (640-546 pr. n. št.). Ne glede na številčnost piscev in število spisov so bili vsi poskusi pridobivanja algebraične analize iz njihovih geometrijskih izrekov in problemov neuspešni in na splošno se priznava, da je bila njihova analiza geometrijska in je imela malo ali nič sorodnosti z algebro. Prvo ohranjeno delo, ki se približuje razpravi o algebri, je Diofant (q.v.), aleksandrijski matematik, ki je cvetel okoli leta 350 po Kr. Izvirnik, ki je sestavljen iz predgovora in trinajstih knjig, je zdaj izgubljen, vendar imamo latinski prevod prvih šestih knjig in fragment druge o poligonalnih številih Xylanderja iz Augsburga (1575) ter latinske in grške prevode Gasparja Bacheta de Merizaca (1621-1670). Izšle so tudi druge izdaje, od katerih lahko omenimo Pierra Fermata (1670), T.L. Heath (1885) in P. Tannery (1893-1895). V predgovoru k temu delu, ki je posvečeno nekemu Dioniziju, Diofant pojasnjuje svoj zapis, tako da glede na vsoto v indeksih imenuje kvadrat, kocko in četrto potenco, dynamis, cubus, dynamodinimus itd. Neznano, ki ga imenuje aritmetika, število, v rešitvah pa ga zaznamuje s končnim s; razloži generiranje potence, pravila za množenje in deljenje enostavnih količin, ne obravnava pa seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja sestavljenih količin. Nato nadaljuje z razpravo o različnih spretnostih za poenostavitev enačb, pri čemer navede metode, ki so še vedno v splošni uporabi. V osrednjem delu dela pokaže precejšnjo iznajdljivost pri zmanjševanju svojih problemov na preproste enačbe, ki dopuščajo neposredno rešitev ali spadajo v razred, znan kot nedoločene enačbe. O tem zadnjem razredu je razpravljal tako zavzeto, da so pogosto znani kot Diofantovi problemi, metode za njihovo reševanje pa kot Diofantova analiza (glej ENAČBA, Nedoločeno.) Težko je verjeti, da je to Diofantovo delo nastalo spontano v obdobju splošne stagnacijo.Več kot verjetno je, da je bil dolžan prejšnjim piscem, ki jih ne omenja in katerih dela so zdaj izgubljena; kljub temu, vendar za to delo, bi morali domnevati, da je bila algebra skoraj, če ne povsem, Grkom neznana.

Rimljani, ki so nasledili Grke kot glavna civilizirana sila v Evropi, niso pazili na svoje literarne in znanstvene zaklade; matematika je bila vse prej kot zapostavljena; in poleg nekaj izboljšav v aritmetičnih izračunih ni nobenega materialnega napredka, ki bi ga bilo mogoče zabeležiti.

V kronološkem razvoju naše teme se moramo sedaj obrniti k Orientu. Raziskovanje zapisov indijskih matematikov je razkrilo temeljno razliko med grškim in indijskim umom, pri čemer je bil prvi pretežno geometričen in špekulativen, drugi pa aritmetični in predvsem praktičen. Ugotavljamo, da je bila geometrija zapostavljena, razen v kolikor je služila astronomiji; trigonometrija je napredovala, algebra pa je napredovala daleč od Diofantovih dosežkov.

Nadaljevanje na tretji strani.

Ta dokument je del članka o Algebri iz izdaje enciklopedije iz leta 1911, ki je tukaj v ZDA razveljavljena z avtorskimi pravicami. Članek je javno dostopen in to delo lahko kopirate, prenašate, tiskate in distribuirate, kot se vam zdi primerno .

Vloženi so bili vsi napori, da je to besedilo predstavljeno natančno in čisto, vendar ni nobenega jamstva za napake. Niti Melissa Snell niti About nista odgovorna za morebitne težave, ki jih imate z besedilno različico ali katero koli elektronsko obliko tega dokumenta.

Najzgodnejši indijski matematik, o katerem imamo določeno znanje, je Aryabhatta, ki je cvetel okoli začetka 6. stoletja našega štetja. Slava tega astronoma in matematika temelji na njegovem delu Aryabhattiyam, katerega tretje poglavje je posvečeno matematiki. Ganessa, eminentni astronom, matematik in sholiast iz Bhaskare, citira to delo in posebej omenja cuttaca ('pulverizer'), naprava za reševanje nedoločenih enačb. Henry Thomas Colebrooke, eden prvih sodobnih raziskovalcev hindujske znanosti, domneva, da se je razprava o Aryabhatti razširila na določitve kvadratnih enačb, nedoločenih enačb prve stopnje in verjetno druge. Astronomsko delo, imenovano Surya-siddhanta ('znanje o soncu'), negotovega avtorja in verjetno iz 4. ali 5. stoletja, so Hindujci imeli za veliko zaslugo, ki so ga uvrščali šele na drugo mesto za delom Brahmagupte, ki je cvetelo približno stoletje pozneje.Za študente zgodovine je zelo zanimiva, saj kaže vpliv grške znanosti na indijsko matematiko v obdobju pred Aryabhatto. Po presledku približno stoletja, v katerem je matematika dosegla najvišjo raven, je zacvetel Brahmagupta (r. 598 po Kr.), čigar delo z naslovom Brahma-sphuta-siddhanta ('Revidirani Brahmov sistem') vsebuje več poglavij, posvečenih matematiki. Od drugih indijskih piscev lahko omenimo Cridharo, avtorja Ganita-sare ('Kvintesenca računanja'), in Padmanabho, avtorja algebre.

Zdi se, da je indijski um nekaj stoletij obsedlo obdobje matematične stagnacije, saj so dela vsakega naslednjega avtorja le malo pred Brahmagupto. Sklicujemo se na Bhaskara Acaryo, čigar delo je Siddhanta-ciromani ('Diadem anastronomskega sistema'), napisano leta 1150, vsebuje dve pomembni poglavji, Lilavati ('lepa [znanost ali umetnost]') in Viga-ganita ('izdiranje korenin'), ki sta predani aritmetiki in algebra.

Angleški prevodi matematičnih poglavij knjige brahma-siddhanta in Siddhanta-ciromani H. T. Colebrooke (1817) in od Surya-siddhanta E. Burgess, z opombami W. D. Whitneyja (1860), si lahko ogledate podrobnosti.

Vprašanje, ali so si Grki sposodili svojo algebro od Hindujcev ali obratno, je bilo predmet številnih razprav. Nobenega dvoma ni, da je med Grčijo in Indijo obstajal stalen promet in več kot verjetno je, da bi izmenjavo proizvodov spremljal prenos idej. Moritz Cantor sumi na vpliv Diofantovih metod, zlasti v hindujskih rešitvah nedoločenih enačb, kjer so nekateri strokovni izrazi po vsej verjetnosti grškega izvora. Kakor koli že je to, zagotovo so bili hindujski algebraisti daleč pred Diofantom. Pomanjkljivosti grškega simbolizma so bile delno odpravljene; odštevanje smo označevali s piko nad odštevancem; množenje z umestitvijo bha (okrajšava od bhavita, 'produkt') za factom; delitev, tako da se delitelj postavi pod dividendo; in kvadratni koren, tako da pred količino vstavite ka (okrajšava od karana, iracionalno). Neznanega so imenovali yavattavat, in če jih je bilo več, je prvi prevzel to ime, drugi pa so bili označeni z imeni barv; na primer, x je bil označen z ya in y s ka (iz tovornjak, Črna).

Nadaljevanje na četrti strani.

Ta dokument je del članka o Algebri iz izdaje enciklopedije iz leta 1911, ki je tukaj v ZDA razveljavljena z avtorskimi pravicami. Članek je javno dostopen in to delo lahko kopirate, prenašate, tiskate in distribuirate, kot se vam zdi primerno .

Vloženi so bili vsi napori, da je to besedilo predstavljeno natančno in čisto, vendar ni nobenega jamstva za napake. Niti Melissa Snell niti About nista odgovorna za morebitne težave, ki jih imate z besedilno različico ali katero koli elektronsko obliko tega dokumenta.

Opazen napredek Diofantovih zamisli je mogoče najti v dejstvu, da so hindujci priznali obstoj dveh korenov kvadratne enačbe, vendar so negativni koreni veljali za neustrezne, saj zanje ni bilo mogoče najti nobene razlage. Prav tako naj bi predvidevali odkritja rešitev višjih enačb. Velik napredek je bil dosežen pri preučevanju nedoločenih enačb, veji analize, v kateri je Diofant blestel. Toda medtem ko je Diofant želel doseči eno samo rešitev, so si Hindujci prizadevali za splošno metodo, s katero bi bilo mogoče rešiti kateri koli nedoločen problem. Pri tem so bili popolnoma uspešni, saj so dobili splošne rešitve za enačbe ax(+ ali -)by=c, xy=ax+by+c (odkar jih je ponovno odkril Leonhard Euler) in cy2=ax2+b. Poseben primer zadnje enačbe, namreč y2=ax2+1, je močno obremenil vire sodobnih algebraistov. Pierre de Fermat ga je predlagal Bernhardu Freniclu de Bessyju in leta 1657 vsem matematikom.John Wallis in Lord Brounker sta skupaj dobila dolgočasno rešitev, ki jo je leta 1658 objavil John Pell v svoji Algebri leta 1668. Rešitev je podal tudi Fermat v Relaciji. Čeprav Pell ni imel nič opraviti z rešitvijo, so potomci enačbo poimenovali Pellova enačba ali problem, čeprav bi bilo bolj pravilno hindujski problem, v znak priznanja matematičnih dosežkov Brahmanov.

Hermann Hankel je izpostavil pripravljenost, s katero so hindujci prehajali od števila k velikosti in obratno. Čeprav ta prehod iz diskontinuiranega v zvezno ni resnično znanstven, je vendarle bistveno povečal razvoj algebre in Hankel potrjuje, da če definiramo algebro kot uporabo aritmetičnih operacij na racionalnih in iracionalnih številih ali veličinah, potem so Brahmani pravi pravi izumitelji algebre.

Združitev razkropljenih arabskih plemen v 7. stoletju z vznemirljivo versko propagando Mahometa je spremljal meteorski porast intelektualnih moči dotlej nejasne rase. Arabci so postali varuhi indijske in grške znanosti, medtem ko so Evropo raztrgali notranji spori. Pod vladavino Abasidov je Bagdad postal središče znanstvene misli; na njihov dvor so se zgrinjali zdravniki in astronomi iz Indije in Sirije; Prevedeni so bili grški in indijski rokopisi (delo, ki ga je začel kalif Mamun (813–833) in spretno nadaljevali njegovi nasledniki); in v približno enem stoletju so Arabci pridobili ogromno grškega in indijskega znanja. Evklidovi Elementi so bili prvič prevedeni v času vladavine Harun-al-Rashida (786-809) in revidirani po Mamunovem ukazu. Toda ti prevodi so veljali za nepopolne in Tobit ben Korra (836–901) je moral izdelati zadovoljivo izdajo. Ptolomejeva Almagest, prevedena so bila tudi dela Apolonija, Arhimeda, Diofanta in deli Brahmasiddhante.Prvi omembe vreden arabski matematik je bil Mahommed ben Musa al-Khwarizmi, ki je cvetel v vladavini Mamuna. Njegova razprava o algebri in aritmetiki (katere zadnji del je ohranjen le v obliki latinskega prevoda, odkritega leta 1857) ne vsebuje ničesar, kar bi bilo Grkom in Hindujcem neznano; prikazuje metode, ki so sorodne metodam obeh ras, pri čemer prevladuje grški element. Del, posvečen algebri, ima naslov al-jeur wa'lmuqabala, in aritmetika se začne z 'Spoken has Algoritmi,' ime Khwarizmi ali Hovarezmi je prešlo v besedo Algoritmi, ki je bila nadalje preoblikovana v modernejši besedi algorizem in algoritem, ki označujeta metodo računanja.

Nadaljevanje na peti strani.

Ta dokument je del članka o Algebri iz izdaje enciklopedije iz leta 1911, ki je tukaj v ZDA razveljavljena z avtorskimi pravicami. Članek je javno dostopen in to delo lahko kopirate, prenašate, tiskate in distribuirate, kot se vam zdi primerno .

Vloženi so bili vsi napori, da je to besedilo predstavljeno natančno in čisto, vendar ni nobenega jamstva za napake. Niti Melissa Snell niti About nista odgovorna za morebitne težave, ki jih imate z besedilno različico ali katero koli elektronsko obliko tega dokumenta.

Tobit ben Korra (836–901), rojen v Harranu v Mezopotamiji, uspešen jezikoslovec, matematik in astronom, je s svojimi prevodi različnih grških avtorjev opravil vidno delo. Pomembne so njegove raziskave lastnosti prijateljskih števil (q.v.) in problema trisekcije kota. Arabci so bili pri izbiri študija bolj podobni Hindujcem kot Grkom; njihovi filozofi so mešali špekulativne disertacije z naprednejšim študijem medicine; njihovi matematiki so zanemarili prefinjenosti koničnih prerezov in Diofantove analize ter se bolj posvetili izpopolnjevanju sistema številk (glej ŠTEVILKE), aritmetike in astronomije (q.v.). Tako je prišlo do tega, da je bil dosežen določen napredek v algebri, talenti rase so bili podeljeni astronomiji in trigonometriji (q.v.) Fahri des al Karbi, ki je cvetel okoli začetka 11. stoletja, je avtor najpomembnejšega arabskega dela o algebri. Sledi Diofantovim metodam; njegovo delo o nedoločenih enačbah ni podobno indijskim metodam in ne vsebuje ničesar, česar ne bi bilo mogoče zbrati od Diofanta.Geometrično in algebraično je reševal kvadratne enačbe ter enačbe oblike x2n+axn+b=0; dokazal je tudi določene odnose med vsoto prvih n naravnih števil ter vsotami njihovih kvadratov in kubov.

Kubične enačbe smo reševali geometrijsko z določanjem presečišč stožcev. Arhimedov problem razdelitve krogle z ravnino na dva segmenta s predpisanim razmerjem je kot kubično enačbo prvi izrazil Al Mahani, prvo rešitev pa je podal Abu Gafar al Hazin. Določitev stranice pravilnega sedmerokotnika, ki ga je mogoče včrtati ali opisati danemu krogu, je bila zmanjšana na bolj zapleteno enačbo, ki jo je prvi uspešno rešil Abul Gud. Metodo geometrijskega reševanja enačb je znatno razvil Omar Khayyam iz Horassana, ki je cvetel v 11. stoletju. Ta avtor je dvomil o možnosti reševanja kubikov s čisto algebro in bikvadratov z geometrijo. Njegova prva trditev je bila ovržena šele v 15. stoletju, drugo pa je ovrgel Abul Weta (940-908), ki mu je uspelo rešiti obliki x4=a in x4+ax3=b.

Čeprav je treba temelje geometrijskega razreševanja kubičnih enačb pripisati Grkom (kajti Evtocij pripisuje Menaehmu dve metodi reševanja enačbe x3=a in x3=2a3), je treba poznejši razvoj Arabcev obravnavati kot eno njihovih najpomembnejših dosežkov. Grkom je uspelo rešiti osamljen primer; Arabci so dosegli splošno rešitev numeričnih enačb.

Veliko pozornosti je bilo namenjene različnim slogom, v katerih so arabski avtorji obravnavali svojo temo. Moritz Cantor je predlagal, da sta nekoč obstajali dve šoli, ena je bila naklonjena Grkom, druga pa hindujcem; in da so bili zapisi slednjih, čeprav so bili najprej preučevani, hitro zavrženi zaradi bolj preglednih grških metod, tako da so bile med poznejšimi arabskimi pisci indijske metode praktično pozabljene in njihova matematika je postala v bistvu grška.

Če se obrnemo k Arabcem na Zahodu, najdemo istega razsvetljenega duha; Cordova, prestolnica mavrskega imperija v Španiji, je bila prav tako središče učenja kot Bagdad. Najzgodnejši znani španski matematik je Al Madshritti († 1007), čigar slava temelji na disertaciji o prijateljskih številih in na šolah, ki so jih ustanovili njegovi učenci v Cordoyi, Dami in Granadi. Gabir ben Allah iz Seville, običajno imenovan Geber, je bil slaven astronom in očitno vešč algebre, saj se domneva, da je beseda 'algebra' sestavljena iz njegovega imena.

Ko je mavrski imperij začel usihati, so briljantni intelektualni darovi, ki so jih tako obilno hranili v treh ali štirih stoletjih, oslabeli in po tem obdobju jim ni uspelo ustvariti avtorja, primerljivega s tistimi iz 7. do 11. stoletja.

Nadaljevanje na šesti strani.

Ta dokument je del članka o Algebri iz izdaje enciklopedije iz leta 1911, ki je tukaj v ZDA razveljavljena z avtorskimi pravicami. Članek je javno dostopen in to delo lahko kopirate, prenašate, tiskate in distribuirate, kot se vam zdi primerno .

Vloženi so bili vsi napori, da je to besedilo predstavljeno natančno in čisto, vendar ni nobenega jamstva za napake. Niti Melissa Snell niti About nista odgovorna za morebitne težave, ki jih imate z besedilno različico ali katero koli elektronsko obliko tega dokumenta.