Kako izpeljati formulo za kombinacije

PeopleImages.com / Getty Images

Ko vidimo formule, ki jih je učitelj natisnil v učbeniku ali napisal na tablo, je včasih presenetljivo ugotoviti, da je veliko teh formul mogoče izpeljati iz nekaterih temeljnih definicij in skrbnega premisleka. To še posebej velja za verjetnost pri preučevanju formule za kombinacije. Izpeljava te formule v resnici temelji samo na principu množenja.

Načelo množenja

Recimo, da obstaja naloga, ki jo je treba opraviti, in ta naloga je razdeljena na skupaj dva koraka. Prvi korak lahko naredite v k načine in drugi korak je mogoče narediti v n načine. To pomeni, da pomnoženjete številke skupaj, je število načinov za izvedbo naloge kot naprimer .

Na primer, če imate na izbiro deset vrst sladoleda in tri različne prelive, koliko sladic z eno kepico in enim prelivom lahko pripravite? Pomnožite tri z 10, da dobite 30 sladic.

Oblikovanje permutacij

Zdaj uporabite načelo množenja, da izpeljete formulo za število kombinacije r elementi, vzeti iz niza n elementi. Pustiti P(n,r) označujejo število permutacije od r elementov iz niza n in C(n,r) označujejo število kombinacij r elementov iz niza n elementi.

Pomislite, kaj se zgodi pri oblikovanju permutacije r elementov od skupaj n . Na to glejte kot na dvostopenjski proces. Najprej izberite niz r elementov iz niza n . To je kombinacija in obstajajo C (n, r) načine za to. Drugi korak v procesu je naročilo r elementi z r izbira za prvo, r - 1 izbira za drugega, r - 2 za tretjega, 2 možnosti za predzadnjega in 1 za zadnjega. Po principu množenja obstajajo r x ( r -1) x. . . x 2 x 1 = r ! načine za to. Ta formula je zapisana z faktorski zapis .

Izpeljava formule

Če povzamem, p ( n , r ), število načinov za oblikovanje permutacije r elementov od skupaj n določa:

1. Oblikovanje kombinacije r elementov od skupaj n v katerem koli od C ( n , r ) načine
2. Naročanje teh r kateri koli element r ! načine.

Po principu množenja je število načinov za oblikovanje permutacije p ( n , r ) = C ( n , r ) x r !.

Uporaba formule za permutacije p ( n , r ) = n !/( n - r )!, ki ga lahko nadomestimo v zgornjo formulo:

n !/( n - r )! = C ( n , r ) r !.

Zdaj rešite to, število kombinacij, C ( n , r ), in glej to C ( n , r ) = n !/[ r !( n - r )!].

Kot je prikazano, lahko malo razmišljanja in algebre veliko pripomore. Druge formule v verjetnosti in statistiki je mogoče izpeljati tudi z nekaj skrbnimi uporabami definicij.