Kaj so aksiomi verjetnosti?
Trije verjetnostni aksiomi. C.K.Taylor
Ena strategija v matematiki je, da začnete z nekaj izjavami, nato pa iz teh izjav zgradite več matematike. Začetne izjave so znane kot aksiomi. Aksiom je običajno nekaj, kar je matematično samoumevno. Iz razmeroma kratkega seznama aksiomov se deduktivna logika uporablja za dokazovanje drugih trditev, imenovanih izreki ali propozicije.
Področje matematike, znano kot verjetnost, ni nič drugačno. Verjetnost je mogoče zmanjšati na tri aksiome. To je prvi naredil matematik Andrej Kolmogorov. Peščico aksiomov, ki so osnova verjetnosti, je mogoče uporabiti za izpeljavo vseh vrste rezultatov. Toda kaj so ti verjetnostni aksiomi?
Definicije in predhodni podatki
Da bi razumeli aksiome verjetnosti, moramo najprej obravnavati nekaj osnovnih definicij. Predvidevamo, da imamo nabor rezultatov, ki se imenuje vzorčni prostor S. Ta vzorčni prostor lahko razumemo kot univerzalni niz za situacijo, ki jo preučujemo. Vzorčni prostor je sestavljen iz podmnožic, imenovanih dogodki IN 1, IN dva, . . ., INn .
Predvidevamo tudi, da obstaja način, kako vsakemu dogodku dodeliti verjetnost IN . To si lahko predstavljamo kot funkcijo, ki ima nabor za vhod, in a realno število kot rezultat. Verjetnost za dogodek IN je označen z p ( IN ).
Aksiom ena
Prvi aksiom verjetnosti je, da je verjetnost katerega koli dogodka nenegativno realno število. To pomeni, da je najmanjša verjetnost enaka nič in da ne more biti neskončna. Niz števil, ki jih lahko uporabimo, so realna števila. To se nanaša tako na racionalna števila, znana tudi kot ulomki, kot na iracionalna števila, ki jih ni mogoče zapisati kot ulomke.
Upoštevati je treba, da ta aksiom ne pove ničesar o tem, kako velika je lahko verjetnost dogodka. Aksiom odpravlja možnost negativnih verjetnosti. Odraža idejo, da je najmanjša verjetnost, rezervirana za nemogoče dogodke, enaka nič.
Aksiom dva
Drugi aksiom verjetnosti je, da je verjetnost celotnega vzorčnega prostora ena. Simbolično pišemo p ( S ) = 1. V tem aksiomu je implicitno zamisel, da je vzorčni prostor vse, kar je mogoče za naš verjetnostni eksperiment in da zunaj vzorčnega prostora ni dogodkov.
Ta aksiom sam po sebi ne določa zgornje meje verjetnosti dogodkov, ki niso celoten vzorčni prostor. Odraža, da ima nekaj z absolutno gotovostjo 100-odstotno verjetnost.
Aksiom tri
Tretji aksiom verjetnosti se ukvarja z medsebojno izključujočimi se dogodki. če IN 1in IN dvaso medsebojno izključujeta , kar pomeni, da imajo prazno presečišče in uporabimo U za označevanje unije p ( IN 1IN IN dva) = p ( IN 1) + p ( IN dva).
Aksiom dejansko pokriva situacijo z več (tudi šteto neskončnimi) dogodki, od katerih se vsak par med seboj izključuje. Dokler se to zgodi, verjetnost zveze dogodkov je enaka vsoti verjetnosti:
p ( IN 1IN IN dvav . . . IN INn ) = p ( IN 1) + p ( IN dva) + . . . + INn
Čeprav se ta tretji aksiom morda ne zdi tako uporaben, bomo videli, da je v kombinaciji z drugima dvema aksiomoma res zelo močan.
Axiom aplikacije
Trije aksiomi določajo zgornjo mejo verjetnosti katerega koli dogodka. Označujemo dopolnitev dogodka IN avtor IN C. Iz teorije množic, IN in IN Cimajo prazno presečišče in se med seboj izključujejo. Nadalje IN IN IN C= S , celoten vzorčni prostor.
Ta dejstva skupaj z aksiomi nam dajejo:
1 = p ( S ) = p ( IN IN IN C) = p ( IN ) + p ( IN C) .
Preuredimo zgornjo enačbo in vidimo to p ( IN ) = 1 - p ( IN C). Ker vemo, da morajo biti verjetnosti nenegativne, imamo zdaj zgornjo mejo za verjetnost katerega koli dogodka 1.
S ponovno preureditvijo formule imamo p ( INC ) = 1 - p ( IN ). Iz te formule lahko sklepamo tudi, da je verjetnost, da se dogodek ne zgodi, ena minus verjetnost, da se zgodi.
Zgornja enačba nam ponuja tudi način za izračun verjetnosti nemogočega dogodka, označenega s prazno množico. Če želite to videti, se spomnite, da je prazna množica v tem primeru dopolnilo univerzalne množice S C. Ker je 1 = p ( S ) + p ( S C) = 1 + p ( S C), z algebro imamo p ( S C) = 0.
Nadaljnje aplikacije
Zgoraj je le nekaj primerov lastnosti, ki jih je mogoče dokazati neposredno iz aksiomov. Verjetnih rezultatov je veliko več. Toda vsi ti izreki so logične razširitve treh aksiomov verjetnosti.