Temeljni problemi filozofije matematike

Najpreprostejša vprašanja v filozofiji matematike kažejo na globoka vprašanja: zakaj je 1+1 = 2? Zakaj velja izjava '1+1 = 2' čutiti tako zelo drugačen od izjave, kot je 'včeraj je deževalo'? Glede na to, kaj sploh mislimo z '1', '2', ...? Ali '1' obstaja? Če da, kako in kje? Ta vprašanja so bila na voljo filozofom, odkar obstaja matematika. Tako kot številna filozofska vprašanja so zelo splošna in nanje je zelo težko odgovoriti – da bi dobili pravi pomen izjav, kot je '1+1 = 2', se zdi, da potrebujemo veliko filozofske mašinerije, kot je bilo v primeru predmoderni posegi v filozofijo matematike. Od Platona do Leibniza in Kanta so odgovori na zgornja vprašanja vodili do večjega sistema in so bili del tega: filozofije matematike.

Filozofija matematike: od najpreprostejših do najbolj zapletenih vprašanj

Tako matematika kot filozofija sta se v zelo kratkem času zelo spremenili. Stari pomisleki še vedno vodijo raziskovanje: filozofi matematike morajo ugotoviti, kakšen obstoj je priznan predmetom, kot sta '1' in 'krog', in kakšna resnica izjavam, kot je '1+1 = 2'. Toda sodobna matematika postavlja filozofom nova in moteča vprašanja ter kaže na predmete, katerih naravo je še težje določiti. Ta vprašanja so pričarala tako raznolike in na videz nezdružljive odgovore, da se filozofija matematike lahko zdi kot nenavaden šport, v katerem nekdo izbere stran in jo versko brani pred vsemi drugimi. Pomembno je omeniti, da obstaja toliko »plati«, da bi bilo nemogoče upati, da bi jih vse zajeli v tako kratkem uvodu, kot je ta, ki ga trenutno berete.

To nikakor ne pomeni, da filozofija matematike trpi večjo raznolikost mnenj kot druga področja filozofije. Da pa bi dobili občutek za zapleten posel filozofskega razmišljanja o matematiki, je najbolje, da ne izgubite izpred oči matematičnih pomislekov, ki so v ozadju teh različnih šol. Nenavadna značilnost filozofije matematike je težnja, da pristna matematika, in ne le več filozofije, vzklije iz filozofskega raziskovanja, in prav tako, da se matematični napredek spotakne ob globoka temeljna vprašanja. Filozofija matematike na eni strani in metamatematika (preučevanje temeljev matematike z uporabo matematičnih tehnik) na drugi strani sta precej neposredno zgodovinsko povezani in vsaka je druga drugi postajala vse pomembnejša.

David Hilbert: Velik projekt v (filozofiji) matematike

Oglejmo si zgodovinski lok, ki se dotika mnogih ključnih vprašanj v filozofiji matematike, mikrokozmos medsebojnega delovanja čiste filozofije in čiste matematike: projekt matematika Davida Hilberta in zlasti njegov spor z drugim vplivnim mislecem , L.E.J. Brouwer. Ko je čista matematika v 19. stoletju dozorevala in se srečevala z vedno bolj abstraktnimi in neintuitivnimi pojmi, so tako matematiki kot filozofi jasno videli potrebo po resnem preučevanju temeljev predmeta. Med njimi je bil Hilbert, osrednji igralec v prizadevanjih za postavitev temeljev za logično in robustno temo v praktičnem smislu. Upal je, da bo prevedel pogled, da je matematika popolna, racionalna znanost, ki si ga deli toliko filozofov, v nekaj konkretnega.

Hilbertovo misel je motiviral razvoj matematike, ki je bil v njegovem času zelo sodoben. Zlasti je želel dati stalni dom v matematiki transfiniten . Delo Bolzano in Cantor v teoriji množic (množica je naivno le zbirka stvari, organiziranih pod oznako) resno in dosledno obravnaval idejo dejanska neskončnost; to je neskončnim predmetom, ki jim je podeljen lasten obstoj. Na primer, niz vse cela števila {1, 2, …} kot objekt sama po sebi je dejansko neskončno; po drugi strani pa pri obravnavi zgolj poljubno velikih števil potrebujemo samo pojem potencial neskončen, ki je bil stoletja v ontološkem orodju matematikov. Filozofi vseh časov so to razlikovali – sam pojem dejanske neskončnosti ni bil nov. Kljub temu je Cantor prvič izpostavil njegove posledice v teoriji množic. Ključ je bil preprost način ponovnega razmišljanja o pojmu števila.

Množice, štetje in neskončnost

Naša vsakodnevna ideja o velikost kompleta zmanjša na preprosto štetje: glede na dve zbirki stvari lahko ugotovimo, ali sta enako veliki ali ne, tako da preštejemo stvari v vsaki zbirki in primerjamo odgovore – jaz imam tri jabolka, ti imaš tri banane. Cantor se je poglobil v pojem »biti enake velikosti« in abstrahiral pojem dopisovanje ena na ena: nizi so med seboj enaki, če lahko separite njihove elemente – če lahko vsaki vaši banani dodelim točno eno svoje jabolko. Toda s to preprosto abstrakcijo dobimo brezplačno način, kako govoriti o 'velikosti' neskončnih množic: dve neskončni zbirki lahko rečemo enako veliki, če ju lahko postavimo v tako eno-proti-ena korespondenco. Izkazalo se je, da obstaja neskončno množic, ki jih na ta način ni mogoče povezati ena proti ena. Zgodi se na primer, da je 'več' realna števila (to je vsa številska premica – neskončne decimalke in vse) kot cela števila, čeprav sta obe zbirki neskončni.

Cantorjev izrek: Neskončne neskončnosti

Postane bolj čudno – Cantorjev izrek nam v bistvu pove, da obstajajo veliko različnih neskončnosti: pravzaprav neskončno veliko in glede na katero koli neskončno zbirko vedno obstaja večja. Ta nov način obravnave koncepta števila je privedel do preučevanja kardinali, ki so v nekem smislu radikalna razširitev štetja, ki nam omogoča govoriti o vseh možnih dejanskih neskončnostih.

Ti nenavadni pojavi vodijo do tega, da se mnogi vodilni matematiki odločno upirajo tej novi dejanski neskončnosti, kot je Henri Poincaré, ki je izjavil, da 'Dejanske neskončnosti ni, kantorijci so to pozabili in padli v protislovje.' Cantorjeve ideje, čeprav so zdaj skoraj vseprisotne v matematiki, sprva sploh niso bile priljubljene.

Toda za nekatere – med njimi Hilberta – je bil ta odmik od končnega velika zmaga za svoboden razvoj matematike. Za Hilberta je bila matematična utemeljenost Cantorjevega neskončnega stvar velikega estetskega pomena, kot je mogoče razbrati iz njegovega razvpitega citata: »F iz raja, ki ga je Cantor ustvaril za nas, nas nihče ne bo mogel izgnati ”.

Matematični realizem proti matematičnemu formalizmu

Razlike v perspektivah v filozofiji matematike je mogoče deloma umeriti z odnosom do teh novih neskončnosti. Hilbertov pogled ga je povsem postavil v nasprotje z drugim vidnim mislecem, L. E. J. Brouwerjem, kar je vodilo v zloglasno filozofsko rivalstvo.

Hilbert je videl matematiko kot nekakšno igro, ki se ukvarja zgolj z manipulacijo simbolov v skladu z določenimi pravili, pogled, znan kot formalizem . Ta pogled ne prepoveduje nujno interpretacij te 'igre formul' kot na ta ali oni način povezane z realnostjo, vendar v svoji osnovni obliki zahteva precej manj zavezanosti problematičnim matematičnim 'entitetam' kot starejše oblike matematični realizem , kot naprimer platonizem (pogled, seveda, nazaj do Posoda , ki trdi, da matematični objekti, kot sta '1' in 'krog', resnično obstajajo kot vztrajni objekti na način, ki je neodvisen od nas in našega razumevanja le-teh). Brouwer je razumel matematiko na tretji način, radikalno drugačen od obeh perspektiv.

Eden od Hilbertovih bolj znanih izrekov in jedro točke globokega nesoglasja med njim in Brouwerjem je njegov t.i. Bazni izrek . Drobnejše podrobnosti so nepomembne: tisto, kar je bilo filozofom zanimivo in Brouwerju sporno, je bil način, na katerega je Hilbert to dokazal. Hilbertov izrek o bazi je obstojni izrek – ima obliko „ tukaj je vsaj en X'. Matematiki, ko imajo nalogo pokazati, da 'obstaja vsaj en X', lahko uporabijo enega od dveh pristopov: pokazati morajo, kako najti tak X, ali pokazati, da je nemogoče da takega X ni. Dokazi prve vrste se imenujejo konstruktiven , in dokazi druge vrste se imenujejo nekonstruktivno. Hilbertov dokaz izreka o bazi je bil nekonstruktiven. Brouwer je nasprotoval: osnoval in vneto je zagovarjal pristop k matematični filozofiji, znan kot intuicionizem .

Intuicionizem in konstruktivizem

Intuicionist noče obravnavati matematičnih objektov kot stvari, ki niso bile konstruirane z dejavnostjo uma. Za Brouwerja so bile nekonstruktivne dokazne tehnike, kakršne je uporabljal Hilbert, resno problematične. Širša šola matematične filozofije, ki zavrača te nekonstruktivne dokaze, je znana kot konstruktivizem . Konstruktivisti pogosto zavračajo obstoj dejanske neskončnosti v matematiki, ki je kot neodvisen pogled znan kot finizem (skupaj s svojim precej obrobnim bratrancem, ultrafinizem , ki zavrača celo končne predmete, ki so 'preveliki, da bi jih bilo mogoče razumno sestaviti'). Hilbert in Brouwer tako nista ponudila le različnih pogledov na resničnost in veljavnost matematičnih predmetov, ampak tudi radikalno različne načine delanja matematike.

Oba sta sprožila novo študijo same matematične logike: intuicionistična logika proučuje logične sisteme brez zakona izključene sredine in je še danes aktivno raziskovalno področje. Bolj razvpito pa je, da je Hilbertov zgodnji formalistični pristop imel kot optimističen cilj ustvarjanje aksiomatskega sistema (aksiomi so začetne izjave, za katere se vedno domneva, da so resnični), iz katerega je mogoče izpeljati vso matematiko in ki je bil sam brez protislovij. Ti pojmi – oz popolnost in doslednost v matematični logiki – oboje se je zdelo povsem smiselno vprašati o izbranih matematičnih osnovah.

Leta 1900 je Hilbert objavil seznam 23 problemov, za katere je menil, da so na samem vrhu takratne sodobne matematike. Drugi na seznamu je bil pokazati, da so njegovi aritmetični aksiomi dosledni. Ta sistem aksiomov je ponujal običajne osnovne aritmetične strukture, ki jih poznamo – števila, seštevanje, odštevanje itd. – in upali smo, da so bili tudi dovolj močni, da formalizirajo ostalo matematiko.

Gödelov izrek o nepopolnosti: Težave v raju

Zdaj zloglasna dva izreka o nepopolnosti Kurta Gödela sta postavila na počitek bolj nenavadne interpretacije Hilbertovega projekta s tem, da sta pokazala, da št sistem aksiomov, ki vsebuje aritmetiko, lahko dokaže lastno konsistentnost. So natančni in subtilni logični izreki in filozofi so bili previdni pri razmišljanju o njihovih posledicah za matematični realizem (sam Gödel je bil še vedno predan platonist).

Čeprav Hilbertov program ni bil nujno ob popolnem mirovanju po Gödelu so bili izreki prelomni trenutek za matematično logiko – in so bili od takrat predmet neskončnih filozofskih razprav. Hilbertov pristop ni bil niti prva niti zadnja beseda o aksiomatskih osnovah matematike. Bilo je veliko velikih projektov.

Frege in pozneje Russell sta vodila logik pristop, katerega namen je reducirati matematične izreke na logične trditve. Russell je slavno našel resno težavo v Fregejevem pristopu – eden od njegovih aksiomov, ki je bil omogočiti ustvarjanje množice s priklicem množice vseh stvari, ki izpolnjujejo dano lastnost, je naletel na protislovje, zdaj znano kot Russellov paradoks: da je množica vseh množic, ki ne vsebujejo same sebe, nesmiselna entiteta, dovoljena s tem zakonom. Zdelo se je, da so Gödelovi izreki zavirali Russellove lastne logistične ambicije in matematiki so se obrnili k manj ambicioznim pristopom. Frege in Russell sta bila oba sestavni del zgodnjega razvoja Ludwig Wittgenstein , čigar delo ima širok spekter nadaljnjih posledic za filozofijo matematike, vključno s statusom logike in njenim odnosom z naravnim jezikom.

Stara vprašanja, nova vprašanja: prihodnost filozofije matematike

Sčasoma je bila najdena delujoča rešitev problema aksiomatizacije teorije množic v obliki aksiomov Zermelo-Fraenkel (skupaj z aksiomom izbire, ki je zgodovinsko sporen, čeprav danes manj) … V praktičnem smislu ta ontologija – ki vsebuje le en predmet, a set , iz katerega je vse zgrajeno – je dandanes 'defolt' za matematike (čeprav nikakor ne edina izbira).

Zermelo-Fraenkel teorija množic leži na vsej poti od filozofskih špekulacij do konkretnega matematičnega znanja – zdaj je sama matematični objekt, ki ga proučujejo logiki. Toda tako kot Cantorjeva predstava o set izpodbijal način, kako filozofi razmišljajo o matematiki, tako da nove abstrakcije začenjajo početi enako, saj novi temeljni pristopi prihajajo in gredo. Ne le, da so stara vprašanja še vedno sveža, nova vprašanja izhajajo iz novih idej v matematiki, ki vedno znova zaposlijo filozofe, saj se medsebojni vpliv med filozofijo in matematiko poglablja.