Kako dokazati pravilo komplementa v verjetnosti

C.K.Taylor

Iz tega je mogoče izpeljati več izrekov o verjetnosti aksiomi verjetnosti . Te izreke lahko uporabimo za izračun verjetnosti, ki bi jih morda želeli vedeti. En tak rezultat je znan kot pravilo komplementa. Ta izjava nam omogoča, da izračunamo verjetnost an dogodek A s poznavanjem verjetnosti komplementa A ^C. Ko navedemo pravilo komplementa, bomo videli, kako je mogoče ta rezultat dokazati.

Pravilo komplementa

Dopolnitev dogodka A je označen z A ^C. Dopolnilo k A ali je set vseh elementov v univerzalnem nizu, oz vzorčni prostor S, ki niso elementi množice A .

Pravilo komplementa je izraženo z naslednjo enačbo:

P( A ^C) = 1 – P( A )

Tukaj vidimo, da morata biti verjetnost dogodka in verjetnost njegovega komplementa seštevek 1.

Dokaz pravila komplementa

Da bi dokazali pravilo komplementa, začnemo z aksiomi verjetnosti. Te izjave so domnevne brez dokazov. Videli bomo, da jih je mogoče sistematično uporabiti za dokaz naše izjave o verjetnosti komplementa dogodka.

• Prvi aksiom verjetnosti je, da je verjetnost katerega koli dogodka nenegativna realno število .
• Drugi aksiom verjetnosti je, da je verjetnost celotnega vzorčnega prostora S je eno. Simbolično pišemo P( S ) = 1.
• Tretji aksiom verjetnosti pravi, da če A in B se med seboj izključujejo (kar pomeni, da imajo prazno presečišče), potem navedemo verjetnost za zveza teh dogodkov kot P( A IN B ) = P( A ) + P( B ).

Za pravilo komplementa nam ne bo treba uporabiti prvega aksioma na zgornjem seznamu.

Za dokaz naše trditve upoštevamo dogodke A in A ^C. Iz teorije množic vemo, da imata ti dve množici prazno presečišče. To je zato, ker element ne more biti hkrati v obeh A in ne v A . Ker obstaja prazno presečišče, sta ti dve množici medsebojno izključujeta .

Združitev obeh dogodkov A in A ^Cso prav tako pomembni. To so izčrpni dogodki, kar pomeni, da zveza teh dogodkov je ves vzorčni prostor S .

Ta dejstva skupaj z aksiomi nam dajo enačbo

1 = P( S ) = P( A IN A ^C) = P( A ) + P( A ^C) .

Prva enakost je posledica drugega aksioma verjetnosti. Druga enakost je, ker dogodki A in A ^Cso izčrpni. Tretja enakost je posledica tretjega aksioma verjetnosti.

Zgornjo enačbo lahko preuredimo v obliko, ki smo jo navedli zgoraj. Vse, kar moramo storiti, je odšteti verjetnost A z obeh strani enačbe. torej

1 = P( A ) + P( A ^C)

postane enačba

P( A ^C) = 1 – P( A ).

Seveda bi lahko pravilo izrazili tudi tako, da:

P( A ) = 1 – P( A ^C).

Vse tri enačbe so enakovredni načini povedati isto stvar. Iz tega dokaza vidimo, kako nam le dva aksioma in nekaj teorije množic zelo pomagajo pri dokazovanju novih trditev o verjetnosti.